Generalised enriched categories: exponentiation and injectivity

Abstract

Dentre as soluções clássicas para o problema da categoria Top dos espaços topológicos e aplicações contínuas não ser cartesiana fechada, nesta tese estamos interessados em espaços compactamente gerados, espaços equilógicos, e espaços quasi-topológicos; trabalhando com categorias enriquecidas generalizadas, que permitem um tratamento unificado de uma gama de categorias da Topologia e da Análise (e.g., espaços ordenados, métricos, topológicos e de aproximação), generalizamos estes três conceitos de Top para (T,V)-Cat. Para tal finalidade, começamos por estudar a relação entre os (T,V)-espaços injectivos e exponenciáveis, e por provar que (T,V)-Cat é uma categoria fracamente localmente cartesiana fechada. Em seguida, introduzimos a categoria (T,V)-Equ dos (T,V)-espaços equilógicos e seus morfismos, que provamos ser uma categoria cartesiana fechada. Ademais, estudamos uma relação generalizada entre os (T,V)-espaços equilógicos e os completamentos regular e exato de (T,V)-Cat, culminando no fato de que (T,V)-Equ é um quasitopos. Por fim, transportamos os conceitos de espaços C -gerados e espaços quasi-topológicos para (T,V)-Cat. Provamos que os (T,V)-espaços C -gerados formam uma subcategoria plena coreflectiva cartesiana fechada de (T,V)-Cat; exemplos de tais espaços incluem (T,V)-espaços compactamente gerados e (T,V)-espaços de Alexandroff. Para os últimos, fazemos algumas considerações que direcionam a uma generalização da equivalência entre os espaços topológicos de Alexandroff e os conjuntos ordenados. Quanto aos quasi-(T,V)-espaços, eles formam a categoria Qs(T,V)-Cat, a qual provamos ser cartesiana fechada e topológica sobre a categoria Set dos conjuntos e aplicações. Generalizamos também para (T,V)-Cat uma relação interessante entre espaços quasi-topológicos e espaços compactamente gerados.

Among the classical solutions to the problem of non-cartesian closedness of the category Top of topological spaces and continuous maps, in this thesis we are interested in compactly generated spaces, equilogical spaces, and quasi-topological spaces; working with generalised enriched categories, which allow for a unified treatment of a range of categories from Topology and Analysis (e.g., ordered, metric, topological, and approach spaces), we generalise these three concepts from Top to (T,V)-Cat. In order to do so, we start by studying the relation between injective and exponentiable (T,V)- spaces, and by proving that (T,V)-Cat is a weakly locally cartesian closed category. Then we introduce the category (T,V)-Equ of equilogical (T,V)-spaces and its morphisms, which we prove to be a cartesian closed category. Moreover, we study a generalised relation between equilogical (T,V)-spaces and the regular and exact completions of (T,V)-Cat, culminating in the fact that (T,V)-Equ is a quasitopos. We finish by carrying the concepts of C -generated spaces and quasi-topological spaces into (T,V)-Cat. We prove that C -generated (T,V)-spaces form a fully coreflective cartesian closed subcategory of (T,V)-Cat; examples of such spaces include compactly generated (T,V)-spaces and Alexandroff (T,V)-spaces. For the latter, we make some discussions towards a generalisation of the equivalence between Alexandroff topological spaces and ordered sets. Concerning quasi-(T,V)- spaces, they form the category Qs(T,V)-Cat which we prove to be cartesian closed and topological over the category Set of sets and maps. We also generalise to (T,V)-Cat an interesting relation between quasi-topological spaces and compactly generated spaces.