Smoothing and Interpolation on the Essential Manifold

Abstract

Interpolating data in non-Euclidean spaces plays an important role in different areas of knowledge. The main goal of this thesis is to present, in detail, two different approaches for solving interpolation problems on the Generalized Essential manifold Gk,n ×SO(n), consisting of the product of the Grassmann manifold of all k-dimensional subspaces of R^n and the Lie group of rotations in R^n. The first approach to be considered is a generalization to manifolds of the De Casteljau algorithm and the second is based on rolling motions. In order to achieve our objective, we first gather information of all the essential topics of Riemannian geometry and Lie theory necessary for a complete understanding of the geometry of the fundamental manifolds involved in this work, with particular emphasis on the Grassmann manifold and on the Normalized Essential manifold. To perform the De Casteljau algorithm in the manifold Gk,n×SO(n) we adapt a procedure already developed for connected and compact Lie groups and for spheres, and accomplish the implementation of that algorithm, first for the generation of geometric cubic polynomials in the Grassmann manifold Gk,n, and then extending it to generate cubic splines in the same manifold. New expressions for the velocity vector field along geometric cubic polynomials and for its covariant derivative are derived in order to obtain admissible curves that also fulfil appropriate boundary conditions. To solve the interpolation problem using the second approach, we propose an algorithm inspired in techniques that combine rolling/unrolling with unwrapping/wrapping, but accomplishing the objective using rolling motions only. Interpolating curves given in explicit form are obtained for the manifold Gk,n ×SO(n), which also prepares the ground for applications using the Normalized Essential manifold. The definition of rolling map is a crucial tool in this approach. We present a geometric interpretation of all the conditions present in that definition, including a refinement of the non-twist conditions which allows to prove interesting properties of rolling and, consequently, simplifies the study of rolling motions. In particular, the non-twist conditions are rewritten in terms of parallel vector fields, allowing for a clear connection between rolling and parallel transport. When specializing to the rolling manifold Gk,n ×SO(n) the definition of rolling map is adjusted in order to avoid destroying the matrix structure of that manifold. We also address controllability issues for the rolling motion of the Grassmann manifold Gk,n. In parallel with a theoretical proof, we present a constructive proof of the controllability of the kinematic equations that describe the pure rolling motions of the Grassmann manifold Gk,n over the affine tangent space at a point. We make connections with other known approaches to generate interpolating curves in manifolds and point out some directions for future work.

A interpolação de dados em espaços não Euclidianos desempenha um papel importante em diferentes áreas do conhecimento. O objetivo principal desta tese é apresentar, em detalhe, duas abordagens diferentes para resolver problemas de interpolação na variedade Essencial Generalizada Gk,n×SO(n), que consiste no produto cartesiano da variedade de Grassmann formada por todos os subespaços k-dimensionais de R^n e o grupo de Lie das rotações em R^n. A primeira abordagem a ser considerada é uma generalização para variedades do algoritmo de De Casteljau e a segunda é baseada em certos movimentos de rolamento. A fim de alcançar o nosso objetivo, primeiro reunimos informações de todos os tópicos essenciais de geometria Riemanniana e de teoria de Lie necessários para uma completa compreensão da geometria das variedades fundamentais envolvidas neste trabalho, com particular ênfase na variedade de Grassmann e na variedade Essencial Normalizada. Para implementar o algoritmo de De Casteljau na variedade Gk,n ×SO(n), adaptamos um procedimento já conhecido para grupos de Lie conexos e compactos e para esferas, e realizamos a implementação desse algoritmo, primeiro para a geração de polinómios geométricos cúbicos na variedade de Grassmann Gk,n, e depois estendemo-lo para gerar splines cúbicos na mesma variedade. São deduzidas novas expressões para o campo de vetores velocidade ao longo dessas curvas e para a sua derivada covariante, a fim de obter curvas admissíveis que também satisfaçam condições de fronteiras apropriadas. Para resolver o problema de interpolação utilizando a segunda abordagem, propomos um algoritmo inspirado em técnicas que combinam rolling/unrolling com unwrapping/wrapping, mas cumprindo o objetivo utilizando apenas movimentos de rolamento. As curvas de interpolação para a variedade Gk,n×SO(n) são obtidas de forma explícita, o que também prepara o terreno para aplicações utilizando a variedade Essencial Normalizada. A definição de aplicação rolamento é uma ferramenta crucial nesta abordagem. Apresentamos uma interpretação geométrica de todas as condições presentes nessa definição, incluindo um refinamento das condições de non-twist o que permite provar propriedades interessantes de rolamento e, consequentemente, simplifica o estudo dos movimentos de rolamento. Em particular, as condições de non-twist são reescritas em termos de campos vectoriais paralelos, permitindo uma ligação clara entre o rolamento e o transporte paralelo. Quando é especificada para a variedade de rolamento Gk,n×SO(n), a definição de aplicação rolamento é ajustada de forma a evitar destruir a estrutura matricial dessa variedade. Também abordamos questões de controlabilidade para o movimento de rolamento da variedade de Grassmann Gk,n. Em paralelo com uma prova teórica, apresentamos uma prova construtiva da controlabilidade das equações da cinemática que descrevem os movimentos de rolamento puro da variedade de Grassmann Gk,n sobre o espaço afim associado ao espaço tangente num ponto. Estabelecemos algumas relações com outras abordagens conhecidas para gerar curvas interpoladoras em variedades e apresentamos algumas direções para o trabalho futuro.