Descent Theory of (T,V)-categories: global-descent and étale-descent

Abstract

A Tese investiga a Teoria da Descida nas categorias de álgebras lassas, em particular no que diz respeito a duas classes diferentes de morfismos: a classe que inclui todos os morfismos, onde se fala de descida global (ou simplesmente de descida), e a classe dos morfismos étale, ou homeomorfismos locais, que se refere à descida étale. Tendo este objectivo em mente, começamos com uma panorâmica do problema geral da descida, em relação a uma categoria arbitrária com produtos fibrados. São dadas descrições diferentes do problema, nomeadamente em termos de mónadas, em relação a uma fibração e a uma categoria indexada. De particular interesse para nós é a estrutura de descida em Top (ou seja, Teoria Topológica da Descida), e a sua passagem do caso finito ao caso infinito. Parece- nos igualmente útil apresentar uma perspectiva do mundo das (T,V)-categorias, em particular no que respeita a mónada T = (T,μ,η) na categoria dos conjuntos e o quantale V. O nosso estudo do problema da descida nas categorias de lax álgebras, em relação à classe de todos os morfismos, começa com a generalização ao caso não plano dos resultados já conhecidos devido ao trabalho de M.M. Clementino e D. Hofmann, relativos também ao papel desempenhado pelos triquocientes (para os quais apresentamos uma adequada definição no contexto das (T, 2)-categorias baseada na já conhecida caracterização em Top em termos de convergência de ultrafiltros). A relação entre os morfismos de descida efectiva em (T, 2, T)-Cat, onde T é a extensão de Barr à categoria Rel das relações de T, e em (T,V,T )-Cat, onde é (aquela que chamamos) a extensão uniforme à categoria V-Rel das relações com valor em V de T, é investigada. Em particular, em relação à mónada M-ordenada M e à mónada do monóide livre W, é apresentada a completa caracterização dos morfismos de descida efectiva em (M, V, )-Cat e (W, V, W )-Cat. O último caso, com hipóteses adequadas sobre V, fornece também a caracterização dos morfismos de descida efectiva em (W,V,W^)-Cat. Utilizamos informações sobre os morfismos de descida efectiva em (T, 2, T)-Cat, transpondo os resultados para o problema da descida em (T,V,T)-Cat. Apresentamos também um método útil, ainda que represente somente uma condição suficiente. Sã também presentadas algumas versões do Teorema de Van Kampen nas categorias de álgebras lassas, baseadas no trabalho de M.M. Clementino e D. Hofmann, em particular no que diz respeito à mónada do monóide livre W e à mónada das partes de um conjunto. Tendo em consideração o problema da descida em relação à classe dos morfismos étale, recordamos a nossa primeira contribução relativa à caracterização dos morfismos de descida étale efectiva em M-Ord, a categoria dos conjuntos M-ordenados e funções monótonas, baseada na já conhecida caracterização dos morfismos de descida efectiva em relação à classe das (co)fibrações discretas em Cat. São também dadas duas condições suficientes para os morfismos de descida efectiva em V-Cat, uma baseada no método utilizado no estudo da passagem de (T,2,T)-Cat a (T,V,T)-Cat no caso de descida global, e outra assente na utilização de técnicas a partir da caracterização em Ord.

The Thesis investigates Descent Theory in categories of lax algebras, in particular with respect to two different classes of morphisms: the class given by all morphisms, when one usually speaks of global- descent (or simply omits the prefix), and the class of étale morphisms, speaking of étale-descent. Having this goal in mind, we start by giving an overview of the general problem of descent, with respect to an arbitrary category with pullbacks. Different descriptions of the problem are given, namely in terms of monads, with respect to a fibration and with respect to an indexed category. Particularly interesting for us is the framework of descent in Top (i.e., Topological Descent Theory), and its passage from the finite case to the infinite case. We retain also useful to give a perspective of the world of (T,V)-categories, in particular with respect to a Set-monad T = (T,μ,η) and a quantale V. Our study of the problem of descent in categories of lax algebras, with respect to the class given by all morphisms, starts with the generalization to the non-flat case of the already known results due to M.M. Clementino and D. Hofmann, investigating also the role played by the triquotient maps (for which we introduce a suitable definition in the context of (T, 2)-categories based on the already known characterization in Top in terms of ultrafilter convergence). The relation between the effective descent morphisms in (T,2,T)-Cat, where T is the Barr extension to Rel of T, and in (T,V,T)-Cat, where T is (what we call) the uniform extension to V-Rel of T, is investigated. In particular, with respect to the M-ordered monad M and the free-monoid monad W, we give a complete characterization of the effective descent morphisms in (M,V,M )-Cat and (W,V,W)-Cat. The latter case, under suitable hypotheses on V, gives also a characterization of the effective descent morphisms in (W,V,W^)-Cat. We use informations about the morphisms which are effective for descent in (T, 2, T)-Cat to get results for the problem of descent in (T,V,T)-Cat. An useful method is also given, although it represents only a sufficient condition. Based on the work of M.M. Clementino and D. Hofmann, versions of the Van Kampen Theorem in categories of lax algebras are also given, in particular with respect to the free-monoid monad W and the powerset monad P. Considering the problem of descent with respect to the class of étale morphisms, we recall our first contribution given by the characterization of the effective étale-descent morphisms in M-Ord, the category of M-ordered sets and monotone maps, based on the already known characterization in Cat of the effective descent morphisms with respect to the class of discrete (co)fibrations. Two different sufficient conditions for the effective étale-descent morphisms are given in V-Cat, the category of V-categories and V-relations, one based on the method used to study the passage from (T,2,T)-Cat to (T,V,T)-Cat in case of global-descent, and one on direct arguments using techniques from the characterization in Ord.