Numerical ranges of linear pencils

Abstract

O contradomínio numérico de matrizes finitas e de operadores lineares tem sido intensivamente investigado. Nesta tese, o conceito de contradomínio numérico de um feixe linear de matrizes e a geometria do contradomínio numérico são estudados usando técnicas de geometria algébrica plana. A classificação de todas as possíveis curvas geradoras de fronteira de feixes de matrizes de ordens dois e três é dada explicitamente, quando uma das matrizes é hermítica. O contradomínio numérico de feixes lineares com coeficientes hermíticos tem sido objeto de estudo pelos investigadores. Nesta dissertação caracterizámos o contradomínio numérico de feixes lineares auto-adjuntos, apontando e corrigindo um erro reproduzido na literatura. Para o caso n = 2, as curvas geradoras de fronteira são cónicas. As demonstrações do Teorema do Contradomínio Elíptico, Teorema do Contradomínio Parabólico e Teorema do Contradomínio Hiperbólico foram obtidas de modo unificado. O caso dois por dois é particularmente importante, porque um feixe de dimensão arbitrária pode ser reduzido por compressão ao caso bidimensional. Para n = 3, e uma das matrizes do feixe hermatica obtivemos a classificação de todas as possíveis curvas geradoras de fronteira do contradomínio numérico, distinguindo-se os casos de matrizes positivas (negativas) definidas, positivas (negativas) semi-definidas e indefinidas. Todas essas curvas são completamente descritas usando a classificação das cúbicas de Newton. Os resultados obtias são ilustrados através de exemplos numéricos.

In recent years, the numerical range of finite matrices and linear operators has been intensively investigated. In this thesis, the concept of numerical range of a linear pencil is discussed, and the geometry of the numerical range is investigated by using techniques of plane algebraic geometry. The classification of all possible boundary generating curves of the numerical range of pencils of two-by-two and three-by-three matrices is explicitly given, when one of the matrices is hermitian. The numerical range of linear pencils with hermitian coefficients has been studied by some authors. We have characterized the numerical range of self-adjoint linear pencils, pointing out and correcting an error reproduced in the literature. For the case n=2 , the boundary generating curves of numerical range are conics. Geometrical proofs of the Elliptical Range Theorem, Parabolical Range Theorem and Hyperbolical Range Theorem, have been obtained in an unified way. We remark that the two-by-two case is particularly important, since for a pencil of arbitrary dimension the compression to the bidimensional case gives us information on the general n by n case. For n = 3, we obtained the classification of all possible boundary generating curves of the numerical range, distinguishing the case of one of the matrices being positive (negative) definite, semidefinite and indefinite. All the possible boundary generating curves of the numerical range of three-by-three linear pencils can be completely described by using Newton’s classification of cubic curves. The obtaining results are illustrated by numerical examples.