Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10316/26460
Title: Kan-injectividade e KZ-reflectividade em categorias enriquecidas com ordem
Authors: Carvalho, Margarida Abreu de 
Orientador: Sousa, Maria de Lurdes da Costa e
Clementino, Maria Manuel
Keywords: Categorias; Conjuntos parcialmente ordenados
Issue Date: 1-Apr-2015
Citation: CARVALHO, Margarida Alexandre Abreu de - Kan-injectividade e KZ-reflectividade em categorias enriquecidas com ordem. Coimbra : [s.n.], 2014. Tese de doutoramento. Disponível na WWW em: <http://hdl.handle.net/10316/26460>
Abstract: No contexto das categorias enriquecidas com ordem estudamos Kan-injectividade à direita e subcategorias KZ-reflectivas. O trabalho é iniciado com a apresentação do conceito de Kan-injectividade à direita. Estudamos classes de morfismos determinadas por Kan-injectividade à direita a partir de uma subcategoria de uma dada categoria X enriquecida na categoria CPO, dos conjuntos parcialmente ordenados e das funções monótonas. Entre outras propriedades, verificamos que estas classes são fechadas para a composição e contêm todos os adjuntos direitos reflectivos de X. Mostramos ainda que satisfazem uma certa estabilidade para somas amalgamadas e somas amalgamadas múltiplas que sejam conjuntamente epimórficas relativamente à ordem. Caracterizamos várias classes de imersões da categoria CPO, em termos de Kan-injectividade à direita relativamente a certos conjuntos parcialmente ordenados finitos. Mostramos que os objectos e morfismos de uma categoria X, que são Kan-injectivos à direita relativamente a uma classe de morfismos, definem uma subcategoria que, entre outras propriedades, é fechada para limites conjuntamente monomórficos relativamente à ordem. Verificamos que a Kan-injectividade determina uma conexão contravariante de Galois entre o conglomerado das subcategorias de uma determinada categoria X e o conglomerado das classes de morfismos de X, o que nos leva à definição de invólucro Kan-injectivo de uma subcategoria. Numa segunda etapa introduzimos o conceito de subcategoria KZ-reflectiva de uma categoria X enriquecida em CPO e encontramos condições necessárias e suficientes, em termos de Kan-injectividade, para que uma subcategoria de X seja KZ-reflectiva. Estudamos um tipo de morfismos com especial relevância no contexto das subcategorias KZ-reflectivas, as F-imersões, onde F é o functor reflector. Usando esta noção mostramos que uma subcategoria KZ-reflectiva e fechada para adjuntos direitos co-reflectivos coincide com o seu invólucro Kan-injectivo. Isto garante que em categorias enriquecidas em CPO, onde os limites são conjuntamente monomórficos relativamente à ordem, as subcategorias KZ-reflectivas fechadas para adjuntos direitos co-reflectivos são fechadas para limites. Dada uma subcategoria A de B, ambas subcategorias de X, relacionamos o invólucro Kan-injectivo de A em B com o de A em X. Verificamos ainda que toda a subcategoria KZ-reflectiva e fechada para adjuntos direitos co-reflectivos coincide com a categoria das álgebras de Eilenberg-Moore determinada por alguma mónada de Kock-Zöberlein em X. Por fim, analisamos os conceitos e resultados apresentados anteriormente em duas categorias específicas: a categoria Top0 dos espaços topológicos que satisfazem o axioma T0 e das funções contínuas; e a categoria RetLoc dos reticulados locais e das funções que preservam ínfimos finitos e supremos arbitrários. Em Top0 definimos filtros de abertos n-primos, para cada cardinal n, e verificamos que estes filtros definem em Top0 mónadas Fn do tipo KZ, para as quais as Fn-imersões são precisamente as imersões que aqui designamos por imersões n-planas. Para cada cardinal n, obtemos uma caracterização das classes destas imersões em termos de Kan-injectividade, a partir de subcategorias finitas, e apresentamos uma cadeia, indexada pela classe de todos os cardinais, de subcategorias KZ-reflectivas de Top0, dadas pelo invólucro Kan-injectivo de determinadas subcategorias finitas de Top0. A sua união é a subcategoria Sob dos espaços sóbrios. Obtemos então uma subcategoria de Sob cujo invólucro Kan-injectivo quer em Top0 quer em Sob é a categoria Sob. Depois de apresentarmos as definições de Kan-projectividade à direita, KZ-co-reflectividade e H-quociente, duais das noções de Kan-injectividade à direita, KZ-reflectividade e F-imersão, estudamo-las na categoria RetLoc. Em particular, caracterizamos vários tipos de sobrejecções de RetLoc - que designamos por quocientes n-planos - em termos de Kan-projectividade à direita relativamente a certas subcategorias pequenas de RetLoc e obtemos uma cadeia infinita de subcategorias KZ-co-reflectivas da categoria RetLoc cuja união é toda a categoria RetLoc. A caracterização dos objectos e dos morfismos destas categorias em termos de uma generalização da relação binária " ", usualmente utilizada em reticulados contínuos, é aqui apresentada. Encontramos ainda uma subcategoria da categoria RetSp dos reticulados espaciais cujos invólucros Kan-projectivos em RetSp e em RetLoc não coincidem: no primeiro caso obtemos RetSp e no segundo obtemos RetLoc.
In the context of order-enriched categories we study right Kan-injectivity and KZ-reflective subcategories. This work starts with the presentation of the concept of right Kan-injectivity. We study classes of morphisms determined by right Kan-injectivity in a category X enriched in the category CPO, of partially order sets and monotonous functions. Among other properties, we show that these classes are closed under composition and contain all right reflective adjoints of X. We also show that they are stable under all those pushouts and multiple pushouts which are jointly epimorphic with respect to the order. We characterize several classes of embeddings of CPO in terms of right Kan-injectivity for certain finite partially ordered sets. We show that the objects and morphisms of a category X that are right Kan-injective with respect to a class of morphisms define a subcategory which, among other properties, is closed to limits that are jointly monomorphic with respect to the order. We verify that Kan-injectivity sets a contravariant Galois connection between the conglomerate of the subcategories of a given category X and the conglomerate of classes of morphisms of X, which leads us to the definition of Kan-injective hull of a subcategory. In a second step we introduce the concept of KZ-reflective subcategory of an order-enriched category X and we find necessary and sufficient conditions, in terms of right Kan-injectivity, for a subcategory of X to be KZ-reflective. We study a type of morphisms with particular relevance in the context of KZ-reflective subcategories, the F-embeddings, where F is the reflector functor. Using this notion we show that a KZ-reflective subcategory closed for right co-reflective adjoints coincides with its Kan-injective hull. This ensures that in order-enriched categories the KZ-reflective subcategories closed to right co-reflective adjoints are closed for jointly order-monic limits. Given a subcategory A of B, both subcategories of X, we relate the Kan-injective hull of A in B with the Kan-injective hull of A in X. We also verify that all KZ-reflective subcategories closed for right co-reflective adjoints coincide with the category of Eilenberg-Moore algebras determined by a Kock-Zöberlein monad in X. Finally, we analyze the concepts and results presented above in two specific categories: the category Top0 of topological spaces satisfying the axiom T0 and continuous functions, and the category RetLoc of frames and functions that preserve finite meets and arbitrary joins. In Top0 we define n-primes open filters, for each cardinal n, and we show that these filters define monads Fn of KZ type in Top0, for which the Fn-embeddings are precisely the embeddings that we designate as n-flat embeddings. For every cardinal n, we get a characterization of the classes of these embeddings in terms of right Kan-injectivity of finite subcategories, and we present a chain, indexed by the class of all cardinals, of KZ-reflective subcategories of Top0, given by the Kan-injective hull of certain finite subcategories of Top0. Their union is the subcategory Sob of sober spaces. Then we obtain a subcategory of Sob whose Kan-injective hull in Top0 and in Sob is the same: the category Sob. After introducing the definitions of right Kan-projectivity, KZ-co-reflectivity and H-quotient, the dual notions of right Kan-injectivity, KZ-reflectivity and F-embedding, we study them in the category RetLoc. In particular, we characterize several types of surjections of RetLoc - that we call n-flat quotients - in terms of right Kan-projectivity for certain small subcategories of RetLoc and we obtain an infinite chain of KZ-co-reflective subcategories of RetLoc whose union is the entire category RetLoc. The characterization of these categories in terms of a generalization of the binary relation " ", usually used in continuous lattices, is presented here. We also found a subcategory of the category RetSp of spatial lattices whose Kan-projective hulls in RetSp and in RetLoc are different: in the former case we obtain RetSp and in the latter one we obtain RetLoc.
Description: Tese de doutoramento em Matemática (Pré-Bolonha), Especialidade de Matemática Pura, apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
URI: http://hdl.handle.net/10316/26460
Rights: openAccess
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