Métodos de elementos finitos para a modelação a uma e duas dimensões horizontais da propagação de ondas de gravidade em engenharia costeira.

Abstract

Neste trabalho investiga-se a aplicação do método dos elementos finitos à modelação numérica das ondas de superfície dispersivas de origem gravítica. Numa primeira parte é feita a dedução dos modelos de propagação a uma e duas dimensões horizontais de Boussinesq, Madsen e Sørensen, Seabra-Santos e Nadaoka e Beji. É utilizada uma parametrização unificadora dos modelos de águas profundas e pouco profundas. Ascaracterísticas lineares de dispersão e de empolamento desses modelos são comparadas. Os requisitos em termos de condições fronteira e iniciais são também analisados. Numa segunda parte um método de elementos finitos tipo Petrov-Galerkin, com precisão de terceira ordem para a solução numérica das equações de Boussinesq a uma e duas dimensões horizontais, é desenvolvido. O mesmo método é válido, exactamente nas mesmas condições, para o modelo de Seabra-Santos. Elementos finitos são usados nos domínios do espaço e do tempo. A correcção da dispersão numérica e um mecanismo de dissipação altamente selectivo são introduzidos por intermédio de termos adicionais do tipo upwind e crosswind nas funções de peso. As funções de interpolação são trilineares, no espaço-tempo, enquanto as funções de peso são bilineares no espaço e quadráticas no tempo. A integração no tempo resulta num esquema implícito a um passo, do tipo predictor-corrector. A análise de precisão é baseada numa expansão local em série de Taylor, resultando na equação diferencial equivalente. É também feita uma análise baseada numa solução linear em série de Fourier. A análise de estabilidade baseia-se no critério de von Neumann. O mesmo tipo de formulação foi desenvolvido para o modelo de Madsen e Sørensen, embora numa forma não consistente, com as mesmas características de precisão e estabilidade. Para o modelo de Nadaoka e Beji, recorreu-se a uma formulação de Bubnov-Galerkin baseada num esquema de interpolação mista no espaço. Os resultados numéricos foram comparados com soluções analíticas e com medições feitas em laboratório e disponíveis na literatura da especialidade. Os resultados mostraram uma boa correlação com as soluções analíticas e com as medições.