Analysis of equations of motion of inextensible strings and networks

Abstract

O tema central desta tese é o estudo do movimento superamortecido de redes inextensíveis e cordas, quando submetidas a diferentes forças externas. A modelação deste tipo de fenómenos resulta em sistemas de equações com derivadas parciais envolvendo multiplicadores de Lagrange e condições de fronteira não habituais, relacionadas com o movimento livre das junções. Este tipo de problemas também pode ser analisado recorrendo a fluxos de gradiente em certas subvariedades do espaço de medidas de probabilidade de Otto-Wasserstein.O primeiro problema analisado é o movimento superamortecido de tríodos inextensíveis sujeitos à força gravitacional. O tríodo é uma rede que em consiste em três cordas que se encontram num ponto comum (junção), e cujas extremidades estão fixas em três pontos distintos. Para este problema particular provámos a existência de soluções globais generalizadas. A técnica de análise proposta também pode ser aplicada à queda superamortecida de uma ùnica corda inextensível, cujas extremidades estão fixas em dois pontos distintos.De seguida, analisámos o problema de uma rede-θ em retração, recorrendo a um modelo baseado no fluxo de curvatura média com compressão uniforme. Uma rede-θ consiste em 3 cordas com pontos de junçcão no início e no fim de cada corda. Uma normalização adequada permite ver este problema como o movimento superamortecido de uma rede-θ inextensível repelida da origem por uma força externa igual ao raio-vetor. O nosso modelo não necessita nenhuma condição do tipo Herring. Recorrendo ao problema normalizado, provámos a existência de soluções globais generalizadas.Por fim, considerámos o movimento superamortecido de cordas não homogêneas e inextensíveis com condições de fronteira do tipo "chicote". Além da demonstração da existência de soluções globais generalizadas, provámos ainda o decaimento exponencial da energia relativa do sistema e a convergência para o equilíbrio a longo prazo.

In this thesis we study the equations of overdamped motion of inextensible networks and strings under the action of different external forces. These problems can be expressed as systems of PDE that involve unknown Lagrange multipliers and non-standard boundary conditions related to the freely moving junctions. These problems can also be formally interpreted as gradient flows on certain submanifolds of the Otto-Wasserstein space of probability measures.The first model that we study is the overdamped motion of inextensible triods under the gravita- tional force. The triod is a network that consists of three strings that meet at a common point (junction), and the other ends are fixed at three distinct points. We prove global existence of generalized solutions. We observe that our approach is also applicable to the overdamped fall of a single inextensible string with the ends fixed at two distinct spatial points.The next model under consideration is the uniformly compressing mean curvature flow for a shrinking θ -network. A θ -network is a network consisting of 3 strings that has two junction points at the end and at the beginning of each string. We show that the problem can be normalized in a smart way. The renormalized system that can be viewed as an overdamped motion of an inextensible θ -network repelled from the origin by the external force equal to the radius-vector. Our model does not require any version of the Herring condition. Invoking the normalized model, we prove global existence of generalized solutions.The last model is the overdamped motion of an inhomogeneous inextensible strings with the whip boundary conditions. We prove global existence of generalized solutions to this problem and study its long-time behavior. We show the exponential decay of the relative energy of the system and the convergence to the equilibrium.