Centroide, área e invólucro convexo de um polígono

Abstract

The work aims to optimize the entire stone crushing process through the development of a pneumatic machine. To achieve this, a photograph of the hammer's working area will be taken. This image will later be processed to identify the bounding polygons of each fragment located within the field of action of the pneumatic hammer. Initially, we will address the concept of convex hull and explore some basic concepts that will allow us to better understand and delve into various methods for determining the convex hull of a polygon. Subsequently, we will focus on developing methodologies to determine candidate points of impact. In this regard, we discussed the geometric centroid of a polygon and the Chebyshev center of a convex polygon. Then, a heuristic was developed to implement the Chebyshev center in concave polygons that satisfy certain conditions. Once these methodologies may result in a point outside the polygon, it was necessary to develop and study methodologies that ensure the points are located within the polygon. Thus, the medial axis and the straight skeleton of a polygon were discussed. A computationally-driven algorithm was developed to determine the straight skeleton of a polygon. Additionally, a method called Garcia-Castellanos & Lombardo was addressed, which determines, for a set of points, the point inside the polygon that is farthest from the polygon's boundary. Lastly, the application of the methodologies described throughout the document will be presented in a specific real-life case of the pneumatic stone crushing machine.

O trabalho desenvolvido tem como objetivo otimizar todo o processo de britagem de pedra através do desenvolvimento de uma máquina pneumática. Para isso, será tirada uma fotografia ao campo de ação do martelo. Essa imagem será posteriormente processada de modo a identificar os polígonos delimitadores de cada um dos fragmentos localizados no campo de ação do martelo pneumático. Inicialmente, vamos abordar o conceito de invólucro convexo e abordar alguns conceitos básicos que nos vão permitir compreender e aprofundar melhor diversos métodos para determinar o invólucro convexo de um polígono. Posteriormente iremos focar-nos em desenvolver metodologias para determinar pontos candidatos a ponto de impacto. Deste modo, foi abordado o centroide geométrico de um polígono e o centro de Chebyshev de um polígono convexo. Depois desenvolveu-se uma heurística para implementar o centro de Chebyshev em polígonos convexos que satisfaçam determinadas condições. Uma vez que estas metodologias podem ter como resultado um ponto no exterior do polígono foi necessário abordar metodologias que garantam que os pontos se localizam no interior do polígono. Assim, foi abordado o eixo medial e o esqueleto reto de um polígono. Para além disso, foi abordado um método designado Garcia-Castellanos \& Lombardo que para um conjunto de pontos determina o ponto no interior do polígono mais distante da fronteira do polígono. Por último, as metodologias desenvolvidas serão aplicadas a um cenário real e concreto.