Sobre a estimação de processos auto-regressivos de ordem um.

Abstract

O objetivo da presente tese é realizar uma análise estatística sobre os processos auto-regressivos de ordem 1. Após uma breve introdução teórica, começamos por estudar o processo Xt quando t 2 N0 e com condição inicial X0 = 0. Depois de provarmos que tal processo é de segunda ordem, analisamos a sua estacionaridade. Em seguida, determinamos o estimador da máxima verosimilhan ça para os parâmetros do modelo supondo que o ruído associado é normal, centrado e de variância 2, concluindo-se também que o estimador obtido para ' coincide com o estimador dos mínimos quadrados. Posteriormente, estudamos o processo quando t 2 Z. Começamos por analisar a estacionaridade fraca, forte e a ergodicidade do processo. Finalmente determinamos o estimador da máxima verosimilhança para os respetivos parâmetros. Em seguida, estudamos as propriedades assintóticas e a consistência dos estimadores de ', obtidos para os dois processos. Finalmente, determinamos a lei assintótica do estimador de ' no caso em que o processo é explosivo, isto é, quando j ' j> 1 e X0 = 0 e ilustramos os resultados obtidos usando dados simulados e o teste de ajustamento do 2.

The aim of this thesis is to perform a statistical analysis on the rstorder autoregressive processes. After a brief introduction, we begin by studying the process Xt when t 2 N0 and with initial condition X0 = 0. Once you prove that this process is of second-order, we analyse its stationarity. Next, we determine the maximum likelihood estimator for the parameters of the model assuming that the associated noise is distributed normally with mean 0 and variance 2, concluding that the estimator obtained for ' coincides with the estimator of the least squares. After, we study the case when t 2 Z. We begin by analysing the weak and strong stationary and ergodicity of the process. Finally we determine the maximum likelihood estimator for the respective parameters. Then we study the asymptotic properties of estimators and consistency of ', obtained for the two processes. Finally, we determine the asymptotic law of the estimator of ' in the case where the process is explosive, i.e., when j ' j> 1 and X0 = 0 and illustrate the results obtained using simulated data and adjustment test of 2.