Drug delivery assisted by ultrasound in viscoelastic materials

Abstract

The main goal of this work is the analytical and numerical study of a differential system defined by an integro-differential equation of hyperbolic type and a convection-diffusion-reaction equation. This system arises in the mathematical modeling of drug delivery enhanced by ultrasound. In this case, the hyperbolic equation describes the target displacement generated by ultrasound and the second equation describes the drug transport. The parabolic equation depends on the displacement and eventually on its time derivative. The differential system is completed by initial conditions and homogeneous boundary conditions of Dirichlet type. We establish existence, uniqueness and stability results for the displacement and concentration in both the continuous and the semi-discrete cases. In the continuous case, the existence result for the displacement problem is established considering the method of separation of variables, the stability is proved considering the energy method that allows us to get an estimate for the potential and kinetic energies. The existence of concentration is obtained applying a known result. The stability is proved using again the energy method. In the stability analysis of the semi-discrete approximations for the displacement and concentration, we follow discrete versions of the arguments used in the continuous case. The convergence analysis of the semi-discrete approximations is also based in the discrete energy method and second convergence order is obtained. We observe that the spatial truncation error is only of first order with respect to the infinity norm. The numerical results illustrating the theoretical results established are also included.

O objectivo principal deste trabalho é o estudo analítico e numérico de um sistema diferencial definido por uma equação integro-diferencial do tipo hiperbólico e uma equação de convecção-difusão-reação. Este sistema surge na modelação matemática da administração de fármacos assistida por ultrassom. Neste caso, a equação hiperbólica descreve o deslocamento no meio gerado pelo ultrassom e a segunda equação descreve o transporte do fármaco. A equação parabólica depende do deslocamento e eventualmente da sua derivada temporal. O sistema diferencial é completado com condições iniciais e condições de fronteira homogéneas de Dirichlet. Estabelecemos resultados de existência, unicidade e estabilidade para o deslocamento e para a concentração tanto no caso contínuo como no caso semi-discreto. No caso contínuo, o resultado da existência para o problema do deslocamento é estabelecido considerando o método de separação de variáveis, a estabilidade é provada considerando o método da energia que nos permite encontrar uma estimativa para as energias potencial e cinética. A existência da concentração é obtida aplicando um resultado conhecido. A estabilidade é provada usando novamente o método da energia. Na análise da estabilidade da aproximação semi-discreta para o deslocamento, seguimos versões discretas dos argumentos usados no caso contínuo. A análise da convergência das aproximações semi-discretas é também baseada no método da energia discreto e é obtida segunda ordem de convergência. Observamos que o erro de truncatura espacial é apenas de primeira ordem em relação à norma infinito. Os resultados numéricos ilustrando os resultados teóricos obtidos são também incluídos neste trabalho.