From Coordinate Algebras to the Pontryagin Maximum Principle

Abstract

No prefácio do livro "Introduction to Topology and Modern Analysis", George Simmons afirma: “Parece-me que se pode fazer uma distinção relevante entre dois tipos de matemática pura. A primeira---que infelizmente parece estar um pouco fora de moda---interessa-se por funções e teoremas que s\~ao ricos em significado e interesse histórico, como a função gama e o teorema dos números primos, ou em factos isolados de interesse substancial, como a fórmula de Euler, 1 + 1/4 + 1/9 + ... = pi^2/6. A segunda está interessada primariamente em forma e estrutura.”Será na “matemática pura do segundo tipo” que se centrará o nosso esforço nos primeiros 2 capítulos desta tese. No 1o capítulo explicaremos como compreender variedades diferenciáveis em termos das suas álgebras de coordenadas. Esta perspetiva harmoniza-se com o estudo da relação entre campos de vetores e os seus fluxos. Encontramos motivação para o 2o capítulo na mecânica clássica e aí descreveremos uma outra operação algébrica (os parênteses de Poisson) associada à álgebra de coordenadas de um fibrado cotangente. Contudo, o nosso terceiro e último capítulo é dedicado a um exemplo de “matemática pura do 1.o tipo”. Usando a teoria desenvolvida nos 1.o e 2.o capítulos, explicaremos o princípio do máximo de Pontryagin (PMP) para trajetórias ótimas de um sistema de controlo. O PMP, publicado originalmente em 1956, é presentemente um resultado fundamental em teoria do controlo ótimo. A nossa referência fundamental para o estudo do PMP foi o livro “Control Theory from the Geometric Point” de Andrei Agrachev e Yuri Sachkov. Contudo, sempre que possível, dedicámos um esforço a apresentar este tema de uma perspetiva original.

In the preface to "Introduction to Topology and Modern Analysis," George Simmons writes: “It seems to me that a worthwhile distinction can be drawn between two types of pure mathematics. The first---which unfortunately is somewhat out of style at present---centers attention on particular functions and theorems which are rich in meaning and history, like the gamma function and the prime number theorem, or on juicy individual facts, like Euler's wonderful formula, 1 + 1/4 + 1/9 + ... = pi^2/6. The second is concerned primarily with form and structure.”“Pure mathematics of the second type” will be our occupation in the first two chapters of this thesis. In Chapter 1, we will explain how smooth manifolds can be understood in terms of their coordinate algebras. This perspective is especially helpful to study the relationship between vector fields and their flows. In Chapter 2, we will borrow some motivation from classical mechanics and describe an additional algebraic operation (the Poisson bracket) equipped on the coordinate algebra of a cotangent bundle. Our third and final chapter, however, is dedicated to an instance of “pure mathematics of the first type.” Relying on the theoretical framework developed in the first two chapters, we will explain the Pontryagin maximum principle (PMP) for time-optimal trajectories of a control system.The Pontryagin maximum principle, first published in 1956, is today a fundamental result in optimal control theory. Our main reference in studying the PMP was the book “Control Theory from the Geometric Point” by Andrei Agrachev e Yuri Sachkov, but effort has been devoted in this thesis to present the subject from an original perspective whenever possible.