Stable and Convergent Numerical Methods for Nonlinear Parabolic Systems: Application to Sunspots

Abstract

The computation of the magnetic field in the umbra- the darkest part of a sunspot, was the main motivation of this work. After several simplifications of the physical scenario to concretize this ambitious goal, it was realized that one should start by constructing stable and convergent numerical methods for nonlinear parabolic equations. In this thesis, numerical methods for initial boundary value problems (IBVPs) of nonlinear parabolic equations with Dirichlet or Neumann boundary conditions are proposed, and their stability and convergence analysis is established. These methods, defined in nonuniform partitions, can be seen simultaneously as finite difference methods (FDMs) and piecewise linear finite element methods (FEMs). Error estimates showing that the semi-discretization errors are second-order convergent with respect to a discrete version of the usual H1-norm are established. These error estimates show that the proposed methods lead to a second-order approximation for the solution and for its gradient. In the scope of the FDM, these error estimates are supraconvergent. This means that although they present spatial truncation error with first-order with respect to the norm ∥ · ∥∞ , the corresponding error is second-order convergent with respect to a discrete version of the H1-norm. On the other hand, in the finite element community, these error estimates can be seen as superconvergent estimates. In fact, piecewise linear FEMs lead, for linear elliptic equations, to first-order approximations with respect to the usual H1-norm, and second-order approximations with respect to the usual L2-norm. Although this fact, the second-order convergence is concluded with respect to a discrete version of the H1-norm. It should be pointed out that for differential problems with Dirichlet boundary conditions in two-dimensional domains or Neumann boundary conditions in the one-dimensional case, the error estimates are constructed assuming solution in C4. For differential problems with Dirichlet boundary conditions in the one-dimensional case, lower smoothness assumptions are imposed. The application of the developed methods to simulate strong and vertical magnetic fields is also an objective of the present work. Given this scenario, the numerical simulation is considered only the vertical component of the magnetic fields and one horizontal component. Dirichlet boundary conditions are assumed in a rectangular domain and are defined using numerical data, as well as the initial condition. The velocity field is also assumed to be known and obtained from numerical data too. As the quality of the magnitude of the magnetic field deteriorates with time due to the convective-dominated regime, a stabilization improvement is considered. Due to limitations on computational time, data handling, and availability of sunspot simulation, the numerical experiment is performed on a Network region where, on a shorter spatial scale, the condition is very similar to the one presented on the umbra of the sunspots. Another goal of the present thesis is the automatic detection and geometric definition of sunspots, including the limits of umbra and penumbra, in solar images. An image processing algorithm based on mathematical morphology is proposed, and its performance to detect and segment sunspots is analyzed. For this purpose, the Geophysical and Astronomical Observatory of the University of Coimbra database was used. In the near future, those results will be used to define the computational domain for the sunspots magnetic field evolution.

A evolução do campo magnético na umbra- a parte mais escura de uma mancha solar, foi a motivação central para este trabalho. Depois de várias simplificações no cenário físico, iniciou-se o estudo de métodos numéricos para equações de derivadas parciais parabólicas não lineares. Nesta tese são propostos métodos numéricos para problemas não lineares parabólicos com condições inicial e de fronteira do tipo Dirichlet ou Neumann e é estabelecida a sua análise numérica no que diz respeito à estabilidade e convergência. Os métodos propostos, definidos em partições não uniformes, podem ser vistos simultaneamente como métodos de diferenças finitas e métodos de elementos finitos segmentados lineares. São ainda construídas estimativas de segunda ordem para o erro associado à discretização espacial, relativamente a uma versão discreta da norma H1. Estas estimativas mostram que os métodos propostos permitem construir aproximações de segunda ordem para a solução bem como para o seu gradiente. No âmbito dos métodos de diferenças finitas, as estimativas de erro estabelecidas são estimativas supraconvergentes, isto é, o erro de truncatura associado à discretização espacial é de primeira ordem relativamente à norma ∥.∥∞ e o correspondente erro global é de segunda ordem relativamente a uma norma que pode ser vista como uma versão discreta da norma usual de H1. Na comunidade dos métodos de elementos finitos, estes resultados podem ser vistos como resultados de superconvergência. De facto, embora baseado no método de elementos finitos segmentado linear que apresenta, para equações elípticas lineares, ordem 2 relativamente à norma usual de L2 e ordem 1 relativamente à norma de H1, conclui-se ordem 2 relativamente a uma norma que pode ser vista como uma discretização da norma usual de H1. É de salientar que, quando o problema diferencial é complementado com condições de Dirichlet em domínios bidimensionais ou condições de Neumann num intervalo, as estimativas de erro são construídas assumindo que as soluções analíticas estão em C4. Por outro lado, para problemas com condições de Dirichlet no caso unidimensional são impostas condições de regularidade mais fracas. A aplicação dos métodos desenvolvidos na simulação do campo magnético na umbra é também um dos objetivos da presente trabalho. Neste contexto são consideradas na simulação numérica a componente vertical e uma componente horizontal. No que diz respeito às condições de fronteira, são assumidas condições de Dirichlet definidas a partir de dados numéricos, assim como a condição inicial. Supõe-se que o campo de velocidades é também conhecido. Atendendo a que o problema em questão é dominado pela convecção, observa-se que a qualidade do campo magnético se deteriora no tempo. Com o objetivo de contornar esta patologia numérica, é implementado um método de estabilização. Outro objetivo da presente tese é a detecção automática e definição geométrica das manchas solares, incluindo os limites da umbra e da penumbra, em imagens do sol. Um algoritmo de processamento de imagens baseado em morfologia matemática é proposto e seu desempenho na detecção e segmentação de manchas solares é analisado. Para o efeito, utiliza-se a base de dados do Observatório Geofísico e Astronómico da Universidade de Coimbra. Os resultados obtidos serão utilizados, num trabalho futuro, para definir o domínio computacional para o estudo da evolução do campo magnético de manchas solares.