Métodos numéricos para modelos de preços de opções baseados em processos de Lévy

Abstract

O modelo de Black-Scholes foi um dos primeiros modelos de preços de opções europeias a ser aceite. Ainda hoje, este modelo desempenha um papel fundamental na previsão dos preços de uma opção, devido à facilidade que existe na sua implementação e ao facto da sua fórmula só depender de um único parâmetro não observável. No entanto, também apresenta algumas limitações, por causa de suposições estritas ou pouco realistas que lhe estão subjacentes. Daí que, foram desenvolvidos outros modelos que contornassem estas limitações, como é o caso do modelo de preços de opções baseado num processo de Lévy. Nesta dissertação, iremos deduzir equações diferencias representativas de cada um destes modelos e iremos estudar em pormenor a equação do modelo de preços de opções baseado num processo de Lévy. A equação diferencial representativa destes modelos baseados em processos de Lévy, é uma equação diferencial parcial fracionária por conter o operador fracionário de Riemann Liouville. As metodologias usadas na resolução desta equação, requerem que encontremos uma aproximação para este operador, de forma a que, possamos aplicar métodos numéricos. Assim, por um resultado teórico, que relaciona o operador fracionário de Riemann-Liouville com o operador fracionário de Grünwald-Letnikov, somos capazes de discretizar uma equação segundo o método implícito de Euler e segundo o método de Crank-Nicolson. De forma a que, possamos posteriormente, encontrar soluções numéricas para estes modelos de preços de opções de estilo europeu, tendo em conta determinadas condições de fronteira, e retirar conclusões quanto às propriedades de cada método numérico. Para além disso, pela introdução de um método de extrapolação, pretendemos diminuir os erros de aproximação e aumentar a ordem de convergência, obtendo resultados computacionais melhorados. Deste modo, este trabalho expressa bem como os diferentes ramos da matemática se conjugam, para solucionar problemas cada vez mais complexos, impostos pelos desafios dos mercados financeiros.

The Black-Scholes model was one of the first european-style option pricing models to be accepted. Even today, this model plays a fundamental role in predicting the prices of an option, due to the easiness that exists in its implementation and the fact that its formula only depends on a single unobservable parameter. However, it also has some limitations, because of the strict or unrealistic assumptions that underlie it. Hence, other models were developed to circumvent these limitations, such as the option pricing model based on a Lévy process. In this dissertation, we will deduce representative differential equations for each one of these models, and we will study, in detail, the equation of the option pricing model based on a Lévy process. The differential equation representing these models based on Lévy processes is a fractional partial differential equation because of the Riemann-Liouville fractional operator. The methodologies used in solving this equation, require us to find an approximation for this operator, so that we can apply numerical methods. Thus, by a theoretical result, which relates the Riemann-Liouville fractional operator with the Grünwald-Letnikov fractional operator, we are able to discretize an equation according to the implicit Euler method and according to the Crank-Nicolson method. So that we can later find numerical solutions for these european -style option pricing models, taking into account certain boundary conditions, and withdraw conclusions about the properties of each numerical method. Furthermore, by introducing an extrapolation method, we intend to reduce approximation errors and increase the order of convergence, obtaining improved computational results. In this way, this work expresses well how the different branches of mathematics come together to solve increasingly complex problems, imposed by the challenges of the financial markets.