Modelos para séries temporais de contagem com perturbação em zero

Abstract

The probability laws commonly used to describe counting data generally include zero as an element of its support. However, in several areas of statistical applications, situations often arise in which, when selecting a particular model for the counting characteristic under study, the number of expected zeros differs significantly from the number of zeros actually observed. In these cases, for a better description of the characteristic, it becomes necessary to adapt the standard counting models, inflating or reducing the probability initially associated with the zero value. This work therefore involves the problem of non-compatibility between the expected number of occurrences of the zero value and the corresponding number observed when studying a counting variable. We develop the study of a law that generalizes the geometric law [14] and that, through an additional parameter, allows changing the probability attributed to zero observation. After analysing the probabilistic characteristics of this distribution, the asymptotic behaviour of the estimators obtained by the proportions, moments and maximum likelihood estimation methods is established, and their performance is compared through simulations in medium and high sample sizes. The suitability of this law to real data sets is assessed, proving to be more effective than with other classic ones. The study continues with the introduction of a model for counting time series with conditional distribution to the past belonging to the family of these geometric generalized laws. Stationarity at order one is established. Second order stationarity is studied for the sub-class of geometric laws and also for geometric models inflated to zero, following recent studies. The modelling of the series relative to the number of new cases of hantavirus infection per week, in a Germany state between 2005 and 2018, concludes this study.

As leis de probabilidade habitualmente utilizadas para descrever dados de contagem incluem em geral o valor zero como elemento do seu suporte. Mas, em diversas áreas de aplicações estatísticas, surgem frequentemente situações em que, seleccionando um determinado modelo para a característica de contagem em estudo, o número de zeros esperados difere significativamente do número de zeros realmente observados. Nesses casos, para uma melhor descrição da característica, torna-se necessário adaptar os modelos de contagem standard, inflacionando ou reduzindo a probabilidade inicialmente associada ao valor zero. Este trabalho envolve, assim, o problema da não compatibilidade entre o número esperado de ocorrências do valor zero e o correspondente número observado ao estudar uma variável de contagem. Abordamos o estudo de uma lei que generaliza a lei Geométrica [14], e que, através de um parâmetro adicional, permite alterar a probabilidade atribuída à observação zero. Analisadas características probabilistas desta distribuição, é estabelecido o comportamento assimptótico dos estimadores obtidos pelo método das proporções, dos momentos e da máxima verosimilhança, sendo o seu desempenho comparado por meio de simulações em amostras de dimensão média e elevada. A adequação desta lei a conjuntos de dados reais é avaliada, revelando-se mais eficaz do que com outras mais clássicas. O estudo prossegue com a introdução de um modelo para séries temporais de contagem com lei condicional ao passado pertencente à família destas leis. A estacionaridade à ordem um é estabelecida. A estacionaridade de segunda ordem é estudada para sub-classes das leis Geométricas e também para os modelos Geométricos inflacionados em zero, seguindo estudos recentes. A modelação da série relativa ao número de novos casos de infecção pelo Hantavírus por semana, num estado da Alemanha entre 2005 e 2018, conclui este estudo.