A Teoria de Polinómios Ortogonais na Análise Transitória de Processos de Nascimentos e Morte

Abstract

Uma das principais características da Teoria de Polinómios Ortogonais é a sua é a sua ubiquidade; desde a sua relação com áreas fundamentais da matemática, como a Teoria de Operadores ou os Problemas de Momentos, até à sua aplicação a àreas do conhecimento como a física quântica e, tal como neste caso, à análise de certos tipos de processos estocásticos. O presente trabalho focar-se-á, especificamente, na linguagem de polinómios ortogonais como ferramenta na análise transitória de Processos de Nascimento e Morte, um caso particular de uma Cadeia de Markov a tempo contínuo. O primeiro capítulo terá como objectivo fornecer ao leitor uma bagagem sólida no que diz respeito aos conceitos introdutórios e resultados clássicos da teoria de polinómios ortogonais, assim como construir as fundações para o trabalho subsequente. O conceito de ortogonalidade de polinómios será dado relativamente a um funcional linear e muitos dos resultados clássicos, como os teoremas de Favard e Christoffel-Darboux, serão discutidos neste contexto. Ainda neste capítulo o conceito de ortogonalidade de polinómios é trabalhado relativamente a uma função de distribuição, o que será útil nos capítulos seguintes. No capítulo 2 começaremos por analisar o conceito de Cadeia de Markov a tempo contínuo demonstrando como é possível estudar as probabilidades de transição entre estados, deste tipo de processos estocásticos, através dos sistemas de equações diferenciais lineares de Chapman-Kolmogorov e, mais concretamente, como podemos decrevê-los no contexto de um processo de nascimento e morte. Assim, será possível introduzir o leitor às secções seguintes deste mesmo capítulo, onde finalmente a teoria de polinómios ortogonais será utilizada como ferramenta na análise destes mesmo sistemas. Neste contexto, começaremos por identificar os polinómios que iremos associar a um processo de nascimento e morte genérico e apresentar uma candidata a solução dos sistemas de Chapman-Kolmogorov, com base nestes mesmos polinómios. Discutir-se-á ainda a existência de ortogonalidade para os polinómios com que escolhemos trabalhar e por fim será apresentado, com todo o detalhe, o processo pelo qual as probabilidades de transição de um processo de nascimento e morte podem ser dadas neste contexto. O capítulo 3 irá, de certa forma, concretizar o trabalho previamente realizado. Teremos assim como objectivo determinar as probabilidades de transição de casos concretos de processos de nascimento e morte, mais especificamente de modelos de fila de espera como 1 ou 2 servidores. Este trabalho consistirá essencialmente, graças ao que concluímos no capítulo 2, no estudo da ortogonalidade dos polinómios que associaremos a estes mesmos modelos. Para tal, será importante ter em consideração alguns conceitos teóricos adicionais, como o Teorema de Markov, e analizaremos ainda um trabalho efectudado no contexto dos polinómios de Chebychev, como ponto de partida para o raciocínio subsequente. O percurso será a partir daí análogo para os dois modelos que nos propusémos a estudar, com naturais distinções a partir do momento em que é possível concretizar uma candidata a função peso de ortogonalidade para cada um dos casos. Serão, ao longo deste capítulo, discutidos alguns resultados teóricos (devidamente referenciados) cujas demonstrações serão omitidas, mantendo assimo foco do trabalho aqui realizado nas especificidades dos casos em estudo.

One of the mains characteristics of the Theory of Orthogonal Polynomials is it's ubiquity; form it's relation with fundamental field of mathematics, like Operator Theory or the Moments Problems, to it's application to other fields of knowledge like quantum physics or, like in this case, to the analysis of certain types of stochastic processes. The presented work will focus specifically in the language of orthogonal polynomials as a tool in the transient analysis of Birth-Death Processes, a specific case of time-continuous Markov Chains. The first chapter will introduce the reader to the introductory concepts and classic results of the theory of orthogonal polynomials; it will also build the foundations for the subsequent work. The concept of polynomial orthogonality will be given with respect to a linear functional, and most classic results, like Favard's and Christoffel-Darboux's theorems, will be discussed in this context. Still in this chapter the concept of orthogonality for polynomials will be discussed with respect to a distribution function, what will be useful in the next chapters.In chapter 2 we will begin by analyzing the concept of time-continuous Markov Chain showing how the probabilities of transitions between states, of this type of stochastic processes, can be studied through the systems of linear differential equations of Chapman-Kolmogorov and, more specifically, how we can describe these systems in the context of a birth-death process. With this, it will be possible to introduce the reader to the next section of this chapter, where finally the theory of orthogonal polynomials will be used as a tool in the analysis of the referred systems. In this context, we will start by identifying the polynomials that we will associate to a generic birth-death process and present a candidate for the solution of the Chapman-Kolmogorov systems, based on these polynomials. The existence of orthogonality for the referred polynomials will be discussed and finally it will be presented, with all detail, the process by how the transition probabilities for a birth-death process can be given in this context.The third chapter will, in a way, materialize the previous work. Our objective will be to determine the transition probabilities of concrete cases of birth-death processes, more specifically queueing models with 1 or 2 servers. Given what we concluded in chapter 2, this work will consist essentially in the study of the orthogonality of the polynomials we will associate to these models. For this, it will be important to consider some additional theoretical concepts, like the Markov Theorem, and to analyze a work previously done in the context of the Chebychev polynoimials as a starting point for the subsequent arguments. From then on, the work will be analogous for both queueing models, with natural distinctions from the moment we can specify a candidate for a weight function of orthogonality for each case. Through this chapter some theoretical results will be discussed (rightly referenced) where the proofs will be omitted, for the sake of focusing in specificities of each case of study.