Convergência do Método Streamline Upwind Petrov-Galerkin a uma Equação de Convecção-Difusão Aplicada a Derrames

Abstract

Este trabalho tem por objetivo o estudo de métodos numéricos com estabilização para uma equação de convecção-difusão, tanto no caso estacionário como no caso não estacionário, com aplicação aos derrames de petróleo.No caso estacionário faremos a dedução da formulação fraca e a prova da existência e unicidade da solução. De seguida será introduzido o método de Galerkin com elementos finitos seccionalmente polinomiais, para obter uma solução aproximada, e estudada a sua estabilidade e convergência.Posteriormente, ainda no caso estacionário, será mostrada por meio de exemplos, uma dificuldade que ocorre na solução numérica, no caso que a convecção domina o comportamento da equação.Será de seguida definido o método Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) e estudar-se-á a sua estabilidade e convergência, como estabilizador da solução numérica do método de Galerkin. No caso não estacionário será definido a nova formulação variacional e o método SUPG devidamente adaptado. Para tratar da componente temporal, será introduzido o método-θ. Serão estudadas várias estimativas de convergência e estabilidade para dois casos particulares deste método, sendo eles o método Euler Implícito e o método Crank-Nicolson.Por fim será realizada uma aplicação dos métodos descritos, no caso não estacionário, a um evento real de derrame de 64 mil litros de petróleo do navio Prestige, ocorrido no ano de 2002 na Galiza, norte de Espanha. Para finalizar, será feita uma comparação, por sobreposição, entre os métodos estudados e o método particle tracking, já existente na modelação de derrames.

This work aims to study numerical methods with stabilization for a convection-diffusion equation, both in the stationary and non-stationary cases, with application to oil spills.In the stationary case, we will deduct the weak formulation and prove the existence and uniqueness of the solution. Next, the Galerkin method with sectional polynomial finite elements will be introduced to obtain an approximate solution, and its stability and convergence will be studied.Later, even in the stationary case, it will be shown by means of examples, a difficulty that occurs in the numerical solution, in the case that the convection dominates the behavior of the equation.The Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) method will then be defined and its stability and convergence will be studied, as a stabilizer of the numerical solution of the Galerkin method.In the non-stationary case, the new variational formulation and the SUPG method will be duly adapted. To address the temporal component, the θ-method will be introduced. Various convergence and stability estimates will be studied for two particular cases of this method, namely the Implicit Euler method and the Crank-Nicolson method.Finally, an application of the described methods will be carried out, in the non-stationary case, to a real spill event of 64,000 liters of oil from the Prestige vessel, which occurred in 2002 in Galicia, northern Spain. Finally, an overlapping comparison will be made between the methods studied and the particle tracking method, which already exists in spill modeling.