Uma introdução à teoria das copulas e sua aplicação à estimação do Valor em Risco e do Défice Esperado.

Abstract

No presente trabalho é efetuada uma breve introdução à Teoria das Cópulas bidimensionais e ilustrada a sua aplicação à estimação do Valor em Risco e do Défice Esperado. Os temas nele abordados foram agrupados em quatro capítulos.No Capítulo 1 é apresentada uma resenha histórica sobre a origem desta teoria bem como alguns dos seus desenvolvimentos mais recentes, em particular no domínio das finanças.O Capítulo 2, que constitui a parte fundamental do trabalho, debruça-se sobre as principais propriedades teóricas das cópulas. Destacam-se, neste capítulo, a demonstração do Teorema de Sklar e o estudo da dependência entre duas variáveis aleatórias reais através das cópulas produto, comonotónica e contramonotónica. Inclui também a construção de exemplos clássicos de famílias de cópulas, tais como as famílias Arquimedianas, Elíticas e de Valores Extremos.No Capítulo 3, relacionam-se as cópulas com as medidas de associação mais populares nas aplicações, nomeadamente os coeficientes de correlação de Pearson, de Kendall e de Spearman, estabelecendo as propriedades destes dois últimos a partir de tais relações.O Capítulo 4 é dedicado a um exemplo de aplicação da Teoria das Cópulas à estimação do Valor em Risco e do Défice Esperado, duas medidas de risco essenciais no contexto das finanças. Para concretizar este objetivo, são implementadas técnicas estatísticas adaptadas ao contexto das cópulas, nomeadamente o método da pseudo-máxima verosimilhança e o método desimulação de Monte Carlo.Nos Anexos A e B são resumidos alguns resultados auxiliares usados notrabalho. No Anexo C figura o código do programa que permitiu obter os resultados relativos ao exemplo considerado na secção 4.3.

In this work, we present a brief introduction to bivariate copula theory and illustrate its application to VaR and ES estimation. The themes covered are grouped into four chapters. Chapter 1 presents an historical overview concerning the origin of copula theory as well as some of its most recent applications, particularly in finance.Chapter 2 deals with the main theoretical properties of copula functions, including the proof of Sklar’s theorem and the study of dependence between two real random variables by means of product, monotonic and countermonotonic copulas. It also comprises the methods for defining classical examples of copula families such as Archimedean, elliptical and extreme-value copulas. In Chapter 3, copulas are related with some of the most popular association measures, namely Pearson, Kendall and Spearman correlation coefficients. Based on these relations, we deduce essential properties of the two last ones. Chapter 4 is devoted to an example showing the usefulness of bivariate copulas to estimate Value-at-Risk and Expected Shortfall, which are two key risk measures. To achieve this goal, we use suitable statistical techniques in the context of copulas, namely the pseudo-maximum likelihood and the Monte Carlo simulation methods. In Annexes A and B, some auxiliary results are summarized. Annex C contains the program code which allowed us to obtain the results concerning the example presented in section 4.3..