Álgebras de Lie e de Maltsev generalizadas

Abstract

Esta dissertação constitui um contributo para o estudo das álgebras n-Lie, bem como uma introdução a uma nova classe de álgebras anticomutativas: as álgebras n-Maltsev. O trabalho começa resumir algumas das noções, exemplos e resultados básicos relativos às álgebras de Lie. Recorrendo à aplicação das teorias dos grupos de Lie e das álgebras de Lie na resolução de equações diferenciais, ilustra-se a utilização de uma abordagem Lie- algébrica (devida a Lo, Hui e Yuen) na obtenção de fórmulas analíticas para a avaliação de derivados financeiros com parâmetros dependentes do tempo. O segundo capìtulo, dedicado às álgebras n-Lie, introduz as generalizações dos principais conceitos apresentados no primeiro capítulo. O autor investigou as relações entre uma álgebra n-Lie e as suas álgebras reduzidas. Os resultados conseguidos situam-se nas relações estruturais, destacando-se (entre outros) a obtenção de novos exemplos de álgebras n-Lie simples e semisimples aquando do estudo das álgebras reduzidas das famílias de álgebras n-Lie simples e centrais, A(n,t) e E(n,t), bem como a construção de uma álgebra 3-Lie a partir de uma família de algebras de Lie. O último capítulo introduz as álgebras n-Maltsev (álgebras de Maltsev generalizadas), começando por relatar a genése desta generalização. Após uma breve referência à teoria das álgebras de Maltsev, o autor descreve o processo de generalização destas álgebras (devido a Pozhidaev). Verifica-se que a classe das álgebras n-Lie está incluída na classe das álgebras n-Maltsev. Por outro lado, as álgebras reduzidas de uma álgebra n-Maltsev são também álgebras da mesma classe. As álgebras M(A) – álgebras com um produto vectorial ternário definidas sobre uma álgebra de composição A – constituem álgebras 3-Maltsev simples e centrais. A pesquisa apresentada na parte final destew capítulo centrou-se no estudo da álgebra 3-Maltsev simples M 8 sobre um corpo de característica nula, destaca-se a conclusão segundo a qual todas as derivações de M8 são internas, a caracterização das quasi- derivações de M8 e a obenção de uma Z3 –graduação para M8.