Simulação numérica em opções com volatilidade estocástica

Abstract

O modelo de Black-Scholes para opções europeias foi estabelecido assumindo um conjunto de hipóteses sobre a evolução do preço do activo subjacente, nomeadamente, o retorno e a volatilidade são constantes e o carácter aleatório é introduzido por um processo browniano. A comparação entre os resultados de simulação numérica e os dados reais relativos à evolução de alguns mercados, colocou em questão tais hipóteses, nomeadamente a volatilidade constante. Com o objectivo de colmatar as diferenças do comportamento observado nos resultados de simulação e nos dados reais do mercado, surgiram na literatura vários modelos Brownianos para a evolução do preço de opções em que a evolução do preço do activo subjacente é descrito por uma equação diferencial estocástica mas em que a volatilidade é estocástica é uma função determinista do preço do activo calculado no mesmo instante temporal ou uma função determinista do passado do preço do activo. É de salientar que nesta última classe de modelos é introduzido um certo efeito de memória. O estudo de dois modelos representativos de cada uma das classes de modelos anteriormente introduzidos é o objectivo central desta dissertação: o modelo de Cox e Ross e o modelo de Hobson e Rogers, mais especificamente os correspondentes problemas diferenciais estocásticos com condição inicial para o preço dos activos subjacentes e os problemas de derivadas parciais para as correspondentes opções europeias.

The Black-Scholes model for European options was established under a set of assumptions for the time evolution of asset prices, more precisely, constant drift, constant volatility and the randomness is introduced by a Brownian motion. A gap between the simulation results and the data of real financial markets leads to check out such assumptions, namely the constant volatility: To avoid the observed gap between the simulation results and the data of real financial markets, several Brownian models for the evolution of the assets prices characterized by stochastic differential equations for the asset prices arise in the literature where the volatility depends (deterministically) on asset price at the same time level or depends on the past of the asset prices. We point out that in this last class of models a certain memory effect was introduced. The aim of this work is the study of two models representing the two previous classes: the Cox and Ross’s model and the Hobson and Rogeres’s model, more precisely, the correspondents stochastic initial boundary value problems for the asset prices and the partial differential problems for the European options.