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Title: Numerical Analysis and Simulation of Discontinuous Galerkin Methods for Time-Domain Maxwell's Equations
Authors: Ghalati, Maryam Khaksar
Orientador: Araújo, Aderito
Barbeiro, Sílvia
Keywords: métodos de Galerkin descontínuos
stabilidade
convergência
discontinuos Galerkin methods
convergence
stability
Issue Date: 24-Feb-2017
Citation: GHALATI, Maryam Khaksar - Numerical analysis and simulation of discontinuous galerkin methods for time-domain Maxwell's equations. Coimbra : [s.n.], 2017. Tese de doutoramento. Disponível na WWW: http://hdl.handle.net/10316/32391
Abstract: In this thesis we present a detailed analysis of a fully explicit leap-frog type discontinuous Galerkin (DG) method for the numerical discretization of the time-dependent Maxwell’s equations. The study comprehends models capable to deal with anisotropic materials and different types of boundary conditions. Despite the practical relevance of the anisotropic case, most of the numerical analysis present in the literature is restricted to isotropic materials. Motivated by a real application, in the present dissertation we consider a model which encompasses heterogeneous anisotropy, extending the existing theoretical results. The DG formulation for the spatial discretization is developed in a general framework which unifies the study for different flux evaluation schemes. The leap-frog time integrator is applied to the semi-discrete DG formulation yielding to a fully explicit scheme. The main contribution of this thesis is to provide a rigorous proof of conditional stability and convergence of the scheme taking into account typical boundary conditions, either perfect electric, perfect magnetic or first order Silver- Müller absorbing boundary conditions and for different choices of numerical fluxes. The bounds of the stability region point out not only the influence of the mesh size but also the dependence on the choice of the numerical flux and the degree of the polynomials used in the construction of the finite element space, making possible to balance accuracy and computational efficiency. Under the stability condition, we prove that the scheme is convergent being of arbitrary high-order in space and second order in time. When Silver-Müller boundary conditions are considered we observe only first order convergence in time. To overcome this order reduction we propose a predictor-corrector time integrator which is also analysed in this dissertation. We illustrate the stability and convergence properties of the various schemes with numerical tests. The numerical results of our simulations support the theoretical analysis developed along the thesis.
Nesta tese apresentamos uma análise detalhada de um método numérico totalmente explícito para as equações de Maxwell dependentes do tempo que combina um esquema de elementos finitos de Galerkin descontínuos para a discretização no espaço com um integrador do tipo leap-frog no tempo. O estudo apresentado permite considerar materiais anisotrópicos e diferentes tipos de condições de fronteira. Apesar da relevância prática do caso anisotrópico, a maioria dos trabalhos presentes na literatura restringe a análise numérica ao caso isotrópico. Motivados por uma aplicação real, nesta dissertação consideramos um modelo que compreende simultaneamente o caso anisotrópico e heterogéneo, generalizando os resultados teóricos existentes. A formulação do método elementos finitos de Galerkin descontínuos para a discretização espacial é desenvolvida num contexto geral que unifica o estudo de esquemas com diferentes fluxos numéricos. O integrador temporal do tipo leap-frog aplicado à formulação semi-discreta de elementos finitos conduz a um esquema totalmente explícito. O principal contributo desta tese é a demonstração rigorosa da estabilidade condicional e da convergência do método numérico, tendo em conta as condições de fronteira mais usuais, que incluem as condições impostas no caso dos condutores perfeitos e as condições absorventes de Silver-Müller de primeira ordem e diferentes escolhas para os fluxos numéricos. Os limites da região de estabilidade evidenciam não só a influência do diâmetro da malha espacial, mas também a dependência da escolha do fluxo numérico e o grau dos polinómios usados na construção do espaço de elementos finitos, tornando possível estabelecer um compromisso entre precisão e eficiência computacional. Provamos que, sob a condição de estabilidade, o método é convergente podendo ser de ordem arbitrariamente elevada no espaço e de segunda ordem no tempo. No caso de serem consideradas as condições de fronteira de Silver-Müller, observamos apenas convergência de primeira ordem no tempo. Esta redução de ordem é ultrapassada pela definição de um método preditor-corretor temporal, que também é analisado nesta dissertação. Ilustramos as propriedades de estabilidade e convergência dos vários esquemas considerados com testes numérico. Os resultados numéricos das simulações efetuadas suportam a análise desenvolvida ao longo da tese.
Description: Tese de doutoramento em Matemática, apresentada ao Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
URI: http://hdl.handle.net/10316/32391
Appears in Collections:FCTUC Matemática - Teses de Doutoramento



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