Asymptotic Limits for the Doubly Nonlinear Equation

Abstract

O objetivo deste trabalho é investigar os limites assimptóticos das soluções do problema de Dirichlet homogéneo associado à equação de evolução duplamente não linear $u_{t} = \Delta_{p}u^{m} + g$, quando os parâmetros $p$ e $m$ tendem para infinito. Esta equação combina a não linearidade da equação dos meios porosos, que corresponde ao caso $p=2$, com a não linearidade da equação de $p$-Laplace, que corresponde ao caso $m=1$. A contribuição principal deste trabalho é generalizar alguns dos resultados conhecidos para os limites assimptóticos das soluções de problemas de valor inicial associados à equação dos meios porosos, quando $m$ tende para infinito e à equação de $p$-Laplace, quando $p$ tende para infinito. A motivação para o estudo do comportamento no limite das soluções destas equações radica nas suas aplicações físicas, uma vez que constituem modelos matemáticos para problemas físicos em diferentes contextos, por exemplo no estudo dos fluidos não Newtonianos, do fluxo turbulento de um gás em meios porosos e em glaciologia. Adicionalmente, sob certas condições iniciais, encontramos no limite problemas com propriedades completamente diferentes, com aplicações físicas que são interessantes por si sós e que exigem uma abordagem analítica inovadora.

Estudaremos os limites em $p$ e $m$ separadamente e em sequência, eventualmente completando um diagrama de convergência para o problema. Tanto quanto sabemos, muito pouco tem sido feito sobre o comportamento assimptótico das soluções da equação duplamente não linear, quando $m \neq 1$ e $p \neq 2$ simultaneamente. Em particular, o diagrama de convergência completo é uma novidade.

Associamos à equação duplamente não linear um termo $g$ integrável e um valor inicial não negativo e também integrável. Para analisar o limite quando $p \rightarrow \infty$, consideramos qualquer domínio limitado de $\mathbb{R}^{N}$ com fronteira regular. Para determinar o limite quando $m$ tende para infinito, assumimos que o domínio é um intervalo limitado da recta real ou uma bola de raio $R$, e neste último caso assumimos também que o valor inicial é radial. Provamos, sob as condições adicionais no domínio e no valor inicial referidas, que a equação satisfeita no limite é independente da ordem pela qual tomamos os limites em $p$ e $m$. Além de obtermos o diagrama completo para o limite regular das soluções, apresentamos alguns resultados relacionados com o limite singular da equação duplamente não linear quando $p$ e $m$ tendem para infinito, usando a teoria dos semigrupos não lineares.

This thesis is concerned with the asymptotic limits of the solutions of the homogeneous Dirichlet problem associated to a doubly nonlinear evolution equation of the form $u_{t} = \Delta_{p}u^{m} + g$, as the parameters $p$ and $m$ go to infinity. This equation combines the nonlinearities of the porous medium equation, which corresponds to the case $p=2$, and the $p$-Laplace equation, which corresponds to the case $m=1$. The main contribution we give is to generalize some of the results known for the asymptotic limits of the solutions of initial-value problems associated to the porous medium equation, as $m$ tends to infinity, and to the $p$-Laplace equation, as $p$ goes to infinity. The motivation for the study of the limiting behaviour of solutions to these equations arises from their potential physical applications, as they serve as mathematical models for physical problems in several fields, for example in the study of non-Newtonian fluids, turbulent flow of a gas in porous media and glaciology. Moreover, under certain conditions on the initial data, they give rise at the limit to problems with completely different properties, with important physical applications of their own and which require novel analytical approaches.

We will address the limits in $p$ and $m$ separately and in sequence, eventually completing a convergence diagram for the problem. As far as we know, not much has been done on the asymptotic behaviour of the solutions of the doubly nonlinear equation, when both $m \neq 1$ and $p \neq 2$. In particular, the complete convergence diagram is a novelty.

We associate to the doubly nonlinear equation an integrable source term $g$ and integrable nonnegative initial data. To analyze the limit when $p \rightarrow \infty$, we take any bounded domain of $\mathbb{R}^{N}$ with smooth boundary. To evaluate the limit as $m$ goes to infinity, we further assume that the domain is either a bounded interval of the real line or a ball of radius $R$, in which case we also assume that the initial data is radial. We prove, under the additional assumptions on the domain and initial data stated above, that the equation satisfied at the limit is independent of the order in which we take the limits in $p$ and $m$. We achieve the complete diagram for the regular limit of the solutions, but we also present some results regarding the singular limits of the solutions of the doubly nonlinear equation as $p$ and $m$ tend to infinity. The nonlinear semigroup approach will be employed to pass to the limit.