Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10316/21277
Title: Polinómios cúbicos Riemannianos : abordagem Hamiltoniana e generalizações
Authors: Abrunheiro, Lígia Raquel Lopes dos Santos 
Orientador: Camarinha, Margarida Maria Lopes da Silva
Clemente-Gallardo, J.
Keywords: Polinómios cúbicos; Variedades Riemannianas
Issue Date: 2011
Keywords: Polinómios cúbicos; Variedades Riemannianas
Issue Date: 2011
Citation: ABRUNHEIRO, Lígia Raquel Lopes dos Santos - Polinómios cúbicos Riemannianos : abordagem Hamiltoniana e generalizações. Coimbra : [s.n.], 2011. Tese de doutoramento
Abstract: Esta dissertação é dedicada ao estudo dos polinómios cúbicos Riemannianos e a algumas generalizações deste conceito e da teoria envolvente, no sentido a seguir ex- plicado. O trabalho contribui essencialmente para um novo formalismo Hamiltoniano e da ênfase µa situação em que temos como espaço de configuração um grupo de Lie conexo e compacto. O trabalho é iniciado com a exposição do problema variacional clássico de segunda ordem, que permite definir as curvas conhecidas como polinómios cúbicos Riemanni- anos e a análise de alguns dos invariantes ao longo destas curvas. No âmbito dos fibrados tangentes de ordem superior, apresentamos a versão intrínseca das equações de Euler-Lagrange e ainda a correspondente abordagem Hamiltoniana resultante da transformação de Legendre generalizada. Introduzimos o problema de controlo óptimo dos polinómios cúbicos Riemannianos, cujo sistema de controlo está associado ao pro- blema variacional destes polinómios. Para o efeito, é adaptada para ordem dois, a formulação geométrica de um sistema de controlo de primeira ordem. Prosseguimos depois para a descrição Hamiltoniana deste problema de controlo, através de uma vari- ante presimpléctica do princípio do máximo de Pontryagin e aplicamos o respectivo algoritmo de restrição. É discutida também a relação existente entre os formalismos Lagrangiano e de controlo óptimo apresentados. Os resultados são concretizados para os polinómios cúbicos em grupos de Lie conexos e compactos e esta situação é sim- plificada com a trivialização µa esquerda do sistema Hamiltoniano simpléctico obtido. Analisamos as simetrias do sistema, recorrendo ao método de redução simpléctica de Marsden-Weinstein, obtendo no final um sistema com menos graus de liberdade do que o inicial. Exemplificamos as abordagens expostas, com a apresentação do problema de controlo óptimo dinâmico do corpo rígido livre e esférico. Numa segunda etapa, estendemos o problema de controlo óptimo dos polinómios cúbicos em grupos de Lie a um problema com um sistema de controlo de conexão afim mais geral. Mais concretamente, e em paralelismo com o estudo feito para os polinómios cúbicos, é explorado o formalismo presimpléctico e a trivialização do sis- tema Hamiltoniano simpléctico, obtido para este problema mais geral. Relacionamos a dinâmica estudada para o referido problema de controlo óptimo, com a dinâmica de um problema variacional com restrições, que aparece na literatura como uma extensão do clássico problema variacional dos polinómios cúbicos. Apresentamos alguns exemplos elementares, que ilustram bem a abordagem apresentada. Concluímos o trabalho com o enquadramento dos problemas de controlo óptimo estudados ao longo da tese, na teoria mais geral dos algebróides de Lie. Sob este ponto de vista, enriquecemos o texto com alguns exemplos de problemas (cinemáticos e dinâmicos) relacionados com o corpo rígido. Alguns dos resultados desta tese foram já objecto de publicação em [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8].
This thesis is devoted to the study of Riemannian cubic polynomials and to some generalizations of this concept and the related theory, in the sense explained below. The work contributes essentially to a new Hamiltonian formalism and gives emphasis to the situation where the con¯guration space is a compact and connected Lie group. The work begins with an exposition of the classical second order variational prob- lem that de¯nes the curves known as Riemannian cubic polynomials and the analysis of some invariants along these curves. In the context of higher order tangent bundles, we present the intrinsic version of the Euler-Lagrange equations and the correspond- ing Hamiltonian approach resulting from the generalized Legendre transformation. We introduce the optimal control problem of Riemannian cubic polynomials, whose con- trol system is associated with the variational problem of these polynomials. For this purpose, the geometric formulation of a ¯rst order control system is adapted to order two. We proceed then to the Hamiltonian description of this control problem, using a presymplectic variant of the Pontryagin maximum principle, and apply the appropri- ate contraint algorithm. The relation between the introduced Lagrangian and optimal control formalims is also discussed. The results are implemented for the cubic polyno- mials on compact and connected Lie groups and this situation is simpli¯ed with the left trivialization of the obtained symplectic Hamiltonian system. We analyze the sym- metries of the system using the symplectic reduction procedure of Marsden-Weinstein, getting in the end a system with fewer degrees of freedom than the original one. We also exemplify our approaches with the dynamic optimal control problem of the free and spherical rigid body. In a second step, we extend the optimal control problem of cubic polynomials on Lie groups to a more general problem with an a±ne connection control system. More speci¯cally, in parallel with the study of cubic polynomials, we explore the presymplec- tic formalism and the trivialization of the symplectic Hamiltonian system obtained for this further general problem. We relate the dynamics studied for the above optimal control problem, with the dynamics of a variational problem with constraints, which appears in the literature as an extension of the classical variational problem of cubic polynomials. Some elementary examples that illustrate our approach are also given. We conclude with a framework in the more general theory of Lie algebroids of the optimal control problems studied throughout the thesis. From this point of view, we provide some examples of (kinematic and dynamic) problems related to the rigid body. Some of the results of the thesis can be found in [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8].
Description: Tese de doutoramento em Matemática (Matemática Pura) apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
URI: http://hdl.handle.net/10316/21277
Rights: openAccess
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