Espaços de funções com parâmetro de derivação generalizado, números de entropia e aplicações

Abstract

Nesta dissertação são estudados os espaços de funções com parâmetro de derivação generalizado do tipo de Besov e de Triebel-Lizorkin, B>sup>(s,Y)pq(IRn) e F(s,Y)pq(IRn), respectivamente. Estes espaços estendem os espaços de Besov e Triebel-Lizorkin usuais, sendo o parâmetro de suavidade “s” substituído pelo par “(s,æ)”, onde æ é uma função do tipo logarítmo, dita função admissível. Além de propriedades básicas, tais como a existência de quasi-normas equivalentes, a propriedade do levantamento e imersões, foram também obtidas caracterizações daqueles espaços por médias locais, decomposições atómicas e subatómicas. Uma das motivações para a consideração dos espaços de funções em causa é a sua ligação à geometria fractal, designadamente a certos conjuntos “fractais”, os chamados conjuntos-(d,æ). Mediante a consideração de determinado operador de identifição e do operador traço, verifica-se que os espaços de Besov com parâmetro de derivação generalizado se adaptam perfeitamente aos conjuntos-(d,æ). Os resultados encontrados são usados na obtenção de estimativas para os números de entropia de imersões entre espaços de Besov em conjuntos-(d,æ) e, via desigualdade de Carl, são aplicados ao estudo do comportamento assimptótico dos valores próprios de certos operadores, nomeadamente no problema do tambor fractal.