Contradomínios numéricos em espaços de Hilbert e em espaços de Krein : teoria, algoritmos e implementação computacional

Abstract

Esta dissertação centra-se na investigação do conceito de contradomínio numérico em espaços de Hilbert e em espaços de Krein. Estudam-se importantes resultados relativos ao contradomínio numérico (clássico e indefinido) e analisam-se as propriedades mais relevantes de uma das generalizações mais conhecidas deste conceito: o contradomínio numérico tracial. Introduz-se o conceito de matriz de Toeplitz biperiódica (ou abreviadamente, matriz 2-Toeplitz). Estendem-se os resultados obtidos por Halmos [59], Klein [70] e Eiermann [45]. Estabelece-se uma região de inclusão para o con- tradomínio numérico clássico de uma matriz 2-Toeplitz de banda. Deduzem-se as equações paraméricas da curva geradora de fronteira e apresenta-se uma caracterização do contradomínio numérico clássico de um operador 2-Toeplitz de banda por redução ao caso 2 £ 2. Caracteriza-se o contradomínio numérico indefinido de uma classe especial de matrizes tridiagonais com contradomínio numérico hiperbólico, generalizando os resultados obtidos por Brown e Spitkovsky [27]. Deduzem-se as equações paramétricas da curva geradora de fronteira do contradomínio numérico tracial de uma matriz definida num espaço de Krein. Analisam-se condições favoráveis à ocorrência de porções planas na fronteira e caracteriza-se o contradomínio numérico tracial de uma matriz J-normal, em que J é a matriz de inércia. Apresentam-se quatro algoritmos e respectivos códigos computacionais em suporte informático. Os dois primeiros algoritmos permitem traçar a fronteira do contradomínio numérico clássico de um operador 2-Toeplitz de banda arbitrário, por recurso a dois processos diferentes: um por redução ao caso 2x2 e outro baseado no conceito de curva geradora de fronteira. O terceiro algo- ritmo permite traçar a fronteira do contradomínio numérico tracial (clássico e indefinido) de uma matriz complexa arbitrária com base no conceito de recta de suporte e o quarto algoritmo, além de permitir traçar graficamente a fronteira do contradomínio numérico (clássico e indefinido) de uma matriz complexa arbitrária, permite igualmente descrever a curva geradora de fronteira do mesmo. Apresentam-se exemplos ilustrativos das diferentes situações analisadas.

This dissertation is devoted to the study of the concept of numerical range in Hilbert spaces and Krein spaces. Important results of the numerical range (classic and inde¯nite) are studied and some of the most relevant properties of the tracial numerical range, one of the best known generalizations of the concept of numerical range, are analyzed. The concept of biperiodic Toeplitz matrix (or shortly, 2-Toeplitz matrix) is introduced. Halmos [59], Klein [70] e Eiermann [45] results are extended. An inclusion region for the numerical range of a 2-Toeplitz matrix is obtained. The parametric equations of the boundary generating curve are deduced and the numerical range of a banded 2-Toeplitz operator is investigated performing a reduction to the 2 x 2 case. A class of tridiagonal matrices with hyperbolic numerical range is investigated, generalizing the results obtained by Brown and Spitkovsky [27]. The parametric equations of the boundary generating curve of the tracial numerical range associated with matrices in a Krein space are obtained. Favorable conditions to the occurrence of °at portions on the boundary are analyzed and the tracial numerical range of a J-normal matrix is characterized, where J is the inertia matrix. Four algorithms and respective computer codes are presented. The first two algorithms allow for plotting the boundary of a classical numerical range of an arbitrary 2-Topelitz banded operator, using two diferent processes: one by a reduction to the case 2 x 2 case and another based on the concept of boundary generating curve. The third algorithm allows for plotting the tracial numerical range of an arbitrary complex matrix. Our approach uses the elementary idea that the boundary may be traced by computing the supporting lines. The fourth algorithm allows for plotting the boundary of the numerical range (classic and indefinite) of an arbitrary complex matrix. The boundary generating curve is also plotted. Illustrative examples of the diferent possibilities are given.