A point-free study of z-embeddings, more general classes of localic maps, and uniform continuity

Abstract

This thesis is concerned with two different aspects of localic maps. First, they are classified and characterized according to their interaction with zero sublocales. Second, uniform continuity is studied within the more restricted setting of localic real-valued maps of preuniform locales. Localic maps are classified according to the properties that their preimages and images of zero sublocales satisfy. Some of the classes of localic maps defined by their behavior on preimages of zero sublocales extend the notions of C-, C*- and z-embedded sublocales to localic maps. These maps are then used to characterize normality, and weaker forms of normality, in a manner akin to the characterization of normal locales as the locales in which every closed localic embedding is a C-map. On the other hand, localic maps defined by conditions on their behavior on images of zero sublocales are presented, and the relations between them and closed and open localic maps are studied. This leads to the investigation of three other types of localic maps: w-, n- and wz-maps. A study of uniform continuity of real-valued functions on a preuniform frame is developed. The aim is to characterize uniform continuity of such frame homomorphisms, in terms of a farness relation, and to provide an insertion result for preuniform frames. Separation and extension results for uniform locales are obtained as easy corollaries. As a byproduct, we identify sufficient conditions under which a scale in a frame with a preuniformity generates a real-valued uniform map. The proof of the main theorem relies heavily on (pre)diameters in locales as a substitute for classical pseudometrics. Along the way, several general properties concerning these (pre)diameters are also shown.

Esta dissertação consta de duas partes distintas onde duas facetas das funções locálicas são abordadas. Na primeira parte, as funções locálicas são classificadas e caracterizadas de acordo com o seu comportamento sobre os sublocales de zeros. Na segunda, estuda-se a continuidade uniforme no contexto mais restrito das funções locálicas, em locales pré-uniformes, com valores reais.As funções locálicas são classificadas de acordo com as propriedades que as suas imagens e pré-imagens de sublocales de zeros satisfazem. Algumas das classes de funções locálicas definidas pelo seu comportamento sobre as pré-imagens de sublocales de zeros estendem as noções bem conhecidas de C-, C*- e z-imersões de sublocales. Estas funções são usadas para caracterizar a propriedade de normalidade (e algumas das suas variantes fracas) do locale em questão, de um modo parecido com a caracterização dos locales normais como os locales nos quais qualquer imersão fechada é uma C-imersão. Por outro lado, as funções locálicas definidas pelo seu comportamento sobre as imagens de sublocales de zeros são também apresentadas e as suas relações com as funções fechadas ou abertas são estudadas. Isto conduz à investigação de três tipos de funções locálicas: as funções w, n e wz.Um estudo da continuidade uniforme das funções definidas num locale pré-uniforme, com valores reais, é desenvolvido com o objectivo de caracterizar a continuidade uniforme de tais funções em termos de uma relação de afastamento entre elementos (e, mais geralmente, sublocales do locale) e de obter um resultado de inserção para locales pré-uniformes. Resultados de separação e extensão para locales pré-uniformes são depois obtidos como corolários. Identificam-se ainda condições suficientes sob as quais uma escala num locale com uma pré-uniformidade permite gerar uma função uniformemente contínua com valores reais. A prova do teorema principal de inserção baseia-se num estudo prévio de pré-diâmetros em locales onde alguns resultados da literatura são generalizados; diversas propriedades gerais destes diâmetros são apresentadas e provadas ao longo da exposição.