Processos bilineares na modelação de séries temporais

Abstract

Durante décadas o estudo das séries temporais foi dedicado aos modelos lineares, mas estes podem não ser suficientemente ricos e flexíveis para descrever de modo adequado muitos fenómenos reais com evolução no tempo. De modo a ter em conta diversos aspetos de não linearidade, têm sido propostas na literatura várias classes de modelos. Uma dessas classes é a dos Modelos Bilineares de ordens p, q, P, Q, denotados por BL(p,q,P,Q), que se mostrou útil em muitas áreas, como por exemplo, Sismologia, Ciências Biológicas, Ecologia e Engenharia. Tais modelos foram introduzidos por Granger e Andersen, em 1978, e generalizam os modelos ARMA clássicos através da introdução de termos que envolvem produtos de variáveis do processo e de variáveis do correspondente processo de erro.Neste trabalho estudam-se propriedades probabilísticas de alguns modelos bilineares, nomeadamente o modelo BL(1,0,1,1) e casos particulares de modelos BL(0,0,k,l). No primeiro caso, apresentam-se condições de estacionaridade, estuda-se a estrutura de segunda ordem e é feita uma comparação entre as autocorrelações do modelo BL(1,0,1,1) e as do modelo AR(1), que se obtém do primeiro retirando a parte bilinear.No segundo caso, também são apresentadas condições de estacionaridade e é estudada a estrutura de segunda ordem. Constata-se que a função de autocorrelação dos modelos estudados coincide com a de um modelo média móvel ou com a de um ruído branco, pelo que é também estudada a estrutura de segunda ordem do processo.

For decades the study of time series has been devoted to linear models, but these may not be rich and flexible enough to adequately describe many real phenomena with evolution over time. In order to take into account several aspects of nonlinearity, several classes of models have been proposed in the literature. One such class is that of Bilinear Models of orders p, q, P, Q, denoted by BL(p,q,P,Q), which has proven to be useful in many areas, such as Seismology, Biological Sciences, Ecology, and Engineering. Such models were introduced by Granger and Andersen in 1978 and generalize the classical ARMA models by introducing terms involving products of process variables and corresponding process error variables.In this work, we study probabilistic properties of some bilinear models, namely the BL(1,0,1,1) model and particular cases of BL(0,0,k,l) models.In the first case, stationarity conditions are presented, the second order structure is studied and a comparison is made between the autocorrelations of the BL(1,0,1,1) model and those of the AR(1) model, which is obtained from the former by removing the bilinear part.In the second case, stationarity conditions are also presented and the second-order structure is studied. It is found that the autocorrelation function of the models studied coincides with that of a moving average or white noise model. In the second case, stationarity conditions are also presented and the second order structure is studied. It is found that the autocorrelation function of the models studied coincides with that of a moving average or white noise model, so the second order structure of the squared process is also studied.