Modelos Autorregressivos de Valores Inteiros Multivariados

Abstract

This work is part of the area of Time Series and is dedicated to the study of the model MGINAR(1) (Multivariate Generalized Integer Autoregressive of order 1) and a particular case of it - a model BINAR(1) (Bivariate Integer-valued Autoregressive of order 1). These are processes whose margins are random vectors of non-negative integer components.The formulation of the MGINAR(1) process is based on the introduction of a random matrix operator, whose most relevant properties are demonstrated. Next is the definition of the MGINAR(p) process and the proof that it can be obtained as a subvector of a larger MGINAR(1) process, considering, for this purpose, an adequate matrix of coefficients. Results are also established and demonstrated that allow concluding that the MGINAR(1) process admits first and second order moments and that it is strongly and weakly stationary. In the case of the BINAR(1) model, its definition and its most relevant properties are presented. Then, its study is deepened, particularizing the processes of innovations following Poisson's laws and bivariate Negative Binomials.Subsequently, the model parameters are estimated for each case of innovation using three methods: Yule Walker, Conditional Least Squares and Maximum Likelihood. Finally, two simulations of the BINAR(1) model are carried out, using the software R, as well as an application with real data relating to sunspots recorded in two observatories, which illustrates what has been referred to in theory and the unknown parameters are estimated according to the Yule Walker and Conditional Least Squares methods.

Este trabalho enquadra-se na área de Séries Temporais e é dedicado ao estudo do modelo MGINAR(1) (Multivariate Generalized Integer Autoregressive of order 1) e de um caso particular do mesmo - um modelo BINAR(1) (Bivariate Integer-valued Autoregressive of order 1). Trata-se de processos cujas margens são vetores aleatórios de componentes inteiras não negativas. A formulação do processo MGINAR(1) é feita à custa da introdução de um operador aleatório matricial, cujas propriedades mais relevantes são demonstradas. Segue-se a definição do processo MGINAR(p) e a prova de que este se pode obter como subvetor de um processo MGINAR(1) de maior dimensão, considerando, para tal, uma matriz de coeficientes adequada. São, ainda, estabelecidos e demonstrados resultados que permitem concluir que o processo MGINAR(1) admite momentos de primeira e de segunda ordens e que é fortemente e fracamente estacionário.No caso do modelo BINAR(1), é apresentada a sua definição e as suas propriedades mais relevantes. Seguidamente, aprofunda-se o seu estudo, considerando-se, em particular, que o processo de inovações segue uma lei bivariada de Poisson ou Binomial Negativa.Posteriormente, efetua-se a estimação pontual dos parâmetros do modelo para cada caso de inovações através de três métodos: Yule Walker, Mínimos Quadrados Condicionais e Máxima Verosimilhança. Por fim, são realizadas duas simulações do modelo BINAR(1), através da utilização do software R, bem como uma aplicação com dados reais relativos a manchas solares registadas em dois observatórios, onde se ilustra o que foi referido em teoria e se estima os parâmetros desconhecidos de acordo com os métodos de Yule Walker e dos Mínimos Quadrados Condicionais.