Renormalization Group Flows of Matrix Models of 2D Quantum Gravity

Abstract

Uma teoria quântica completa da interação gravítica tem sido objeto de investigação hálargos anos. A duas dimensões, a interação gravítica torna-se mais simples. Tal originou umrepertório considerável de abordagens, tanto contínuas como discretas, à gravidade bidimensional. É esperado que a compreensão destas formulações bidimensionais possa inspirar as tentativasde formulação de teorias quânticas da gravidade a maiores dimensões. Nesta tese, focamo-nosna optimização da aplicação do Grupo de Renormalização Funcional a Modelos Matriciais degravidade bidimensional.Começamos por contextualizar o problema da quantização da interação grav ́ıtica. A gravi-dade bidimensional ́e revista do ponto de vista da soma contínua de Polyakov - Gravidade deLiouville - bem como do ponto de vista da soma sobre superfícies aleatórias discretizadas - Mode-los Matriciais - e a equivalência entre as duas abordagens ́e estabelecida. É introduzido o conceito de expoentes críticos juntamente com os resultados utilizados como ponto de referência para o restante trabalho. De seguida, a interpretação da Teoria Quântica de Campos sob o ponto devista do Grupo de Renormalização ́e brevemente revista. O Grupo de Renormalização Funcional é apresentado em detalhe, bem como a sua aplicabilidade no estudo de fenómenos físicos a largasescalas e, em particular, no estudo da hipótese da Gravidade Assimptoticamente Segura. Posteri-ormente, o formalismo do Grupo de Renormalização Funcional ́é aplicado aos Modelos Matriciais,com foco particular no Modelo Matricial Hermítico. O objetivo principal prende-se com a opti-mização dos resultados do artigo de 2013, de Eichhorn e Koslowski. A estabilidade dos resultados ́e avaliada relativamente a três quantidades: o tamanho da truncação da acção efectiva, a escolhade regularizador e o esquema de projecção. Os resultados originais são reproduzidos utilizandoum esquema de projecção distinto do original, abrindo a porta à possibilidade de se consider-arem esquemas de projecção mais genéricos. Introduzimos, ainda, um novo regularizador queresolve uma dificuldade do artigo original. Os resultados com o novo regularizador demonstram-se estáveis para ordens de truncação crescentes, permitindo-nos conjecturar o seu comportamentoassimptótico para grandes truncaçoes.

The search for a complete quantum theory of gravitation has been pursued for years. Gravity intwo dimensions becomes simpler. This triggered a large body of work, spreading over distinct ap-proaches from continuum to discrete frameworks. It is expected that a comprehension of the lowerdimensional formulation will inspire the attempts to formulate quantum gravity in higher dimen-sions. In this thesis, we focus on optimizing the application of the Functional RenormalizationGroup to Matrix Models of two-dimensional gravity.We begin by briefly contextualizing the problem of quantizing the gravitational interaction. Two-dimensional quantum gravity is reviewed from the viewpoint of Polyakov’s summation over con-tinuum worldsheet histories - Liouville Gravity - and also from the viewpoint of the summationover discretized random surfaces - Matrix Models - and the equivalence between both frameworksis established. The concept of critical exponents is introduced, together with the results takenas benchmark for the remainder of the thesis. Then, the Renormalization Group approach toQuantum Field Theory is briefly reviewed. A detailed account of the Functional Renormaliza-tion Group and its applicability to the study of large scale phenomena and, in particular, theAsymptotically Safe Gravity hypothesis is given. Then, the implementation of the FunctionalRenormalization Group formalism to Matrix Models is presented, focusing on Hermitian MatrixModels. An optimization of the results of the 2013 article by Eichhorn and Koslowski is workedout. Stability of the results with respect to three quantities, namely the size of the effectiveaction’s truncation, the choice of regulator and the projection scheme, is evaluated. A projectionscheme, different from the original one, is found to reproduce the original results, opening up thepossibility of developing more general schemes. We introduce a new regulator that is able to solvea problem of the original article. The results with the new regulator are found to be stable forincreasing truncation order, allowing us to postulate its asymptotic large-truncation behaviour.