Order Optimisation in Curved Boundary Domains: Discontinuous Galerkin Method

Abstract

O problema que motivou a escolha do tema desta tese prende-se com descrição do comportamento das ondas electromagnéticas na córnea humana, a fim de compreender as razões que conduzem à opacidade da córnea. As equações de Maxwell, que descrevem a propagação de campos electromagnéticos, constituem o modelo matemático natural para o nosso estudo. Neste trabalho, optámos por considerar um modelo simplificado dado pela equação de Helmholtz, assumindo a variação harmónica no tempo dos campos electromagnéticos. Para resolver a equação de Helmholtz recorremos ao método dos elementos finitos descontínuos Galerkin (DG). Uma vez que estamos interessados em resolver a equação num domínio com fronteira curva, que pretende mimetizar a córnea humana, as malhas poligonais nãomalhas poligonais não se ajustam exactamente ao domínio físico, o que conduz a uma redução da precisão do método numérico.Nesta tese propomos duas abordagens para lidar com a redução da precisão do método da DG num domínio com fronteira curva, na resolução do problema de Helmholtz em duas dimensões com condições de fronteira de Dirichlet homogéneas. O primeiro método designa-se por DG-ROD (Reconstruction for Off-site Data) e baseia-se na reconstrução polinomial da condição de fronteira imposta no domínio computacional, tendo em conta a condição de fronteira imposta no domínio físico. Os testes numéricos realizados evidenciam a diminuição do erro e o aumento da ordem de convergência do método, em relação ao método DG clássico. O segundo método proposto designa-se DG-NM (Nelder-Mead) com controlo do passo e baseia-se na alteração da condição de fronteira imposta no domínio computacional através da resolução de um problema de minimização sem restrições. Esse problema de minimização é resolvido com uma variante do método de Nelder-Mead. Os testes numéricos realizados evidenciam a diminuição do erro em relação ao método DG clássico e uma diminuição do número de iterações em relação ao método de NM clássico. Ambos os métodos sugeridos nesta tese têm a vantagem de não utilizar malhas com elementos curvos nem transformações não lineares do elemento da malha para o elemento de referência, comparativamente a outras alternativas para lidar com domínios com fronteira curva.

The problem that motivated the choice of the subject of this thesis is related to the description of the behaviour of electromagnetic waves in the human cornea, in order to understand the reasons that lead to the opacity of the cornea. Maxwell's equations, which describe the propagation of electromagnetic fields, are the natural mathematical model for our study. In this work, we have chosen to consider a simplified model given by the Helmholtz equation, assuming the harmonic variation in time of the electromagnetic fields. To solve the Helmholtz equation we use the discontinuous finite element method Galerkin (DG). Since we are interested in solving the equation in a domain with a curved boundary, which intends to mimic the human cornea, polygonal meshes do not polygonal meshes do not fit exactly into the physical domain, which leads to a reduction in the accuracy of the numerical method.In this thesis we propose two approaches to deal with the reduction in the accuracy of the DG method in a domain with a curved boundary, in solving the Helmholtz problem in two dimensions with homogeneous Dirichlet boundary conditions. The first method is called DG-ROD (Reconstruction for Off-site Data), is based on a polynomial reconstruction of the boundary condition imposed on the computational domain that takes into account the boundary condition imposed on the physical domain. The numerical tests show a reduction of the error and an increase in the order of convergence of the method, in relation to the classical DG method. The second method proposed, called DG-NM (Nelder-Mead) with step size control, is based on changing the boundary condition imposed on the computational domain by solving an unconstrained minimisation problem. This minimisation problem is solved with a variant of the Nelder-Mead method. The numerical tests evidence a decrease in the error in relation to the classical DG method and a decrease in the number of iterations in relation to the classical NM method. Both methods suggested in this thesis have the advantage of not requiring the generation of curved meshes to adjust the boundary nor complex nonlinear transformations to map the curved elements to the reference one, in relation to other alternatives to deal with curved boundary domains.