Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10316/100366
Title: On lax factorisation systems
Authors: Larizza, Leonardo
Orientador: Clementino, Maria Manuel
Keywords: Factorisation systems; Lax arrow categories; Ord-enriched categories; Partial maps; Sistemas de fatorização; categorias de morfismos lassos; categorias enriquecidas em Ord; funções parciais
Issue Date: 12-Apr-2022
Project: PhD grant FCT/MCTES (PD/BD/142958/2018) 
Programa Interuniversitário de Doutoramento em Matemática UC|UP 
Place of publication or event: Coimbra
Abstract: The main focus of this thesis are factorisation systems and their applications to categories of partial maps. The original contribution of this work is the introduction of a new type of factorisation systems developed in the context of categories enriched over the category of partial orders and a presentation of various instances and constructions of such structures in the context of categories of partial maps. The first part of the thesis constitute a survey on the traditional literature about different types of factorisation systems. These structures are presented starting from their definition together with their main properties and some of the most known results on the subject. The second is an introduction to categories of partial maps which is intended to be an helpful source of tools for the reader that approaches the results in the following chapters. Then we proceed to present the original contribution introducing the notion of lax weak orthogonality, which involves the existence of diagonal morphisms for lax squares. Inspired by the traditional theory of factorisation systems from the second chapter, we proceed to introduce the definitions of lax weak factorisation systems, lax functorial factorisation systems and lax algebraic weak factorisation systems. We focus on the study of their main features and properties, in particular we investigate the links between these concepts. We conclude by observing that the arguments developed have a dual formulation that concerns oplax squares. The last part is dedicated to the application of the newly defined structures in the context of partial maps. We consider categories of partial maps enriched over the category of partial orders. Then we show that any category of partial maps comes equipped with a lax algebraic weak factorisation system, which isolates the domain component from the total datum of a partial map. Furthermore, we explore the close link between oplax weak factorisation systems on a category of partial maps and the oplax weak factorisation systems on the base category which carry some conditions of stability under pullbacks. In fact, we will succeed in establishing a bijection between the two classes. Moreover, we will show that functoriality and monad structures are transferred from factorisation systems on the base category to those induced among partial maps when considering the simplest notion of Ord-enrichment. We conclude presenting some remarks on cofibrant generation of lax and oplax weak factorisation systems for certain pointed categories.
O foco principal desta tese são os sistemas de fatorização e as suas aplicações às categorias de funções parciais. A contribuição original deste trabalho é a introdução de um novo tipo de sistemas de factorização desenvolvidos no contexto de categorias enriquecidas na categoria dos espaços ordenados e uma apresentação de várias instâncias e construções de tais estruturas no contexto das categorias de funções parciais. A primeira parte da tese consiste numa apresentação dos resultados clássicos sobre diferentes tipos de sistemas de fatorização. Essas estruturas são apresentadas a partir das próprias definições juntamente com as principais propriedades e alguns dos resultados mais conhecidos sobre o assunto. A segunda é uma introdução às categorias de funções parciais que se destina a ser uma fonte útil de ferramentas para o leitor na abordagem dos resultados nos capítulos seguintes. Seguindo, passamos a apresentar a contribuição original introduzindo a nova noção de ortogonalidade fraca lassa, que envolve a existência de morfismos diagonais para quadrados lassos. Inspirado pela teoria tradicional dos sistemas de fatorização do primeiro capítulo, apresentamos a definição de sistemas de fatorização fracos lassos, sistemas de fatorização functorial lassos e sistemas de fatorização fracos algébricos lassos. Concentramo-nos no estudo das principais características e propriedades, em particular investigamos as ligações entre esses conceitos. Concluímos observando que os argumentos desenvolvidos têm uma formulação dual ao considerar os quadrados oplassos que produz um conjunto igualmente poderoso de resultados. A última parte é dedicada à aplicação das novas estruturas definidas no contexto de funções parciais. Consideramos categorias de funções parciais enriquecidas na categoria dos espaços ordenados. Seguindo, mostramos que qualquer categoria de funções parciais vem equipada com um sistema algébrico de fatorização lasso, que isola o componente do domínio do datum total de uma função parcial. Em seguida, exploramos a estreita ligação entre os sistemas de fatorização fracos oplassos de uma categoria de funções parciais e os sistemas de fatorização fracos oplasso na categoria de base, que apresentam algumas condições de estabilidade sob produtos fibrados. Na verdade, conseguiremos estabelecer uma bijeção entre as duas classes de fatorizações. Além disso, mostraremos que a functorialidade e as estruturas da monada são transferidas dos sistemas de fatorização na categoria de base para aqueles induzidos entre as funções parciais ao considerar a noção mais simples de enriquecimento em Ord. Concluímos apresentando algumas observações sobre a geração cofibrante de sistemas de fatorização lassos e oplassos para certas categorias pontuadas.
Description: Tese de Doutoramento no Programa Inter-Universitário de Doutoramento em Matemática, apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra.
URI: http://hdl.handle.net/10316/100366
Rights: openAccess
Appears in Collections:FCTUC Matemática - Teses de Doutoramento
UC - Teses de Doutoramento

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