Analysis of investor expectations using entropy optimization methods

Abstract

This paper aims to estimate a risk-neutral density function through option prices, by using entropy optimization methods. In their most basic form, these are methods aiming to maximize entropy subject to given constraints, allowing to obtain the least committal density with information not available in those constraints. These constraints result from the fact that option prices are directly related to payoff moments of the underlying asset. To ensure the applicability of one of these methods, we propose a careful selection of the option prices based on open interest data. To our knowledge, this feature is new in the context of entropy optimization methods. In order to test the reliability of these methods, we used simulated data from Black-Scholes-Merton and Heston models. Furthermore, we used data from S&P500 and VIX indexes and Microsoft company. Additionally, in order to try to extract relevant information regarding the market sentiment, we analyzed the mean, variance, skewness, and kurtosis for the estimated risk-neutral density functions obtained from market data. We propose an indicator that allows us to compare the risk-neutral density estimate in a given day to that of the previous day, verifying if there was a significant change. This indicator is based on the comparison of the current day’s density, obtained from the entropy maximization problem, and the density obtained by minimizing the cross-entropy with respect to the previous day. This indicator, as far as the authors know, is a new measure of the changes in the risk-neutral density estimates.

Com o presente trabalho pretende-se estimar uma função densidade neutra face ao risco através de preço de opções, utilizando para isso métodos de otimização da entropia. Na sua forma mais básica, tratam-se de métodos em que se procura maximizar a entropia dadas as restrições impostas, permitindo obter a distribuição menos comprometida com a informação não disponível nessas restrições. Estas resultam de os preços das opções estarem diretamente relacionados com os momentos associados aos payoffs do ativo subjacente. Para garantir a aplicabilidade de um desses métodos, propomos uma seleção cuidadosa do preço das opções, baseada nos dados do open interest. Tanto quanto sabemos, esta caraterística é nova no contexto dos métodos de otimização da entropia. De modo a testar a fiabilidade destes métodos, recorreu-se a dados simulados pelo modelo de Black-Scholes-Merton e de Heston. Para além disso, utilizou-se dados dos índices S&P500 e VIX, e da empresa Microsoft. Adicionalmente, de modo a tentar extrair informação relevante relativa ao sentimento de mercado, analisou-se a média, a variância, a assimetria e a curtose para as funções densidades neutras face ao risco obtidas a partir dos preços de opções extraídos do mercado. Propomos um indicador que permite comparar a estimativa da função densidade neutra face ao risco num dado dia com a do dia anterior, verificando se existiu uma alteração significativa. O indicador é baseado na comparação entre a densidade do próprio dia, obtida recorrendo à maximização da entropia, e a densidade obtida recorrendo ao método de minimização da entropia cruzada. De salientar que este indicador, tanto quanto os autores sabem, é uma nova medida para verificar mudanças na estimação da função densidade neutra ao risco.