Splines na estimação não paramétrica da densidade de probabilidade de uma variável aleatória não negativa

Abstract

Este trabalho, escrito em estilo Latex, consiste numa dissertação de Mestrado em Matemática para obtenção do grau de Mestre em Estatística, Optimização e Matemática Financeira. O objectivo desta dissertação consiste em encontrar uma função suave e de área unitária no seu intervalo de de nição que aproxime fun- ções seccionalmente constantes em subintervalos do mesmo domínio, tamb ém estas de área um, como descrevemos na secção 1.1. Na secção 1.2 encontra-se um exemplo de aplicação deste problema. Na secção 1.3 Figura a pesquisa bibliográ ca e na secção 1.4 encontra-se a nossa ideia para abordar o problema. No capítulo 2 descrevemos dois métodos não paramétricos para a estimação da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória real, o histograma e o método do núcleo. A nossa abordagem tem como apoio a aproximação de uma função quadrática, assim como o uso de splines cúbicos para encontrar esta mesma função de aproximação. Este desenvolvimento encontra-se no capítulo 3. Aí são de nidas as funções spline quadrático e spline cú- bico H(t), t 2 [x0; xn], tais são de nidas por troços no conjunto de nós fx0; x1; : : : ; xng, satisfazendo x0 < x1 < : : : < xn. Neste mesmo capítulo caracterizamos a função H(t) com o sistema B0M = C0H, em que as componentes do vector H são dadas por H(xi), i = 1; : : : ; n 1. Para que este sistema tenha solução única temos que impor condições em x0 e xn e por isso são abordados três casos, o primeiro caso consiste num sitema que arranca e termina a uma velocidade constante. O segundo caso é referente a um sistema que já está em funcionamento no instante inicial x0, e não termina abruptamente no instante nal xn (os nós x0 e xn funcionam como nós internos). E por m o terceiro caso, os nós extremos x0 e xn identi cam o mesmo ponto. Ainda no mesmo capítulo enunciamos e demonstramos que o spline quadrático interpolador com área xa em cada subintervalo reduz-se ao problema de encontrar um determinado spline cúbico interpolador (sem restrição de área). De seguida consideramos o problema de encontrar um spline cúbico com área previamente xada em cada subintervalo, para diferentes condições iniciais, acompanhado de uma ilustração. No m deste capítulo encontra-se a descrição em notação matricial do problema original como um problema no qual a sua função objectivo consite numa função quadrática e com restrições de área unitária e de splines cúbicos. Aplicamos a nossa formulação a um pequeno exemplo para diferentes condições iniciais. Por m, no capítulo 4 testamos computacionalmente a nossa abordagem num conjunto de dados reais e em observações da lei exponencial geradas aleatóriamente. Para testar a abordagem descrita foi utilizado o programa que se encontra na secção B.9, o seu funcionamento é descrito na secção 4.2.

This text, written in Latex, corresponds to a dissertation in Master in Mathematics formation, to obtain the Master Degree in Statistics, Optimization and Financial Mathematics. The goal of this thesis consists in nding a smooth function of area one on its domain that approximates piecewise constant functions where each of these constant sections has area one as well, as we will describe in section 1.1. In section 1.2 we present an example of an application of this problem. Section 1.3 contains the bibliographical research and in section 1.4 we present our idea to approach the problem. In chapter 2 we describe two non parametric methods to estimate the probability density function of a real random variable, the histogram and and the kernel estimator. Our approach is supported by the approximation of a quadratic function and the utilization of cubic splines to nd an approximate function. We develop this in chapter 3. We de ne there the quadratic spline and the cubic spline H(t), t 2 [x0; xn], de ned piecewise in a set of knots fx0; x1; : : : ; xng, satisfying x0 < x1 < : : : < xn. In this same chapter we characterize the function H(t) with the system B0M = C0H, where the components of the vector H are given by h(xi); i = 1; : : : ; n 1. In order for this system to have a unique solution we must impose some conditions in x0 and xn therefore we separate the problem in three cases. In the rst case the system "starts" and " nishes" at a constant speed. The second one refers to a system that is already functioning at the starting time x0 and doesn't nish abruptly at the nal instant xn (the knots x0 and xn can be treated as internal knots). Finally, in the third case, the extreme knots identify the same point. Still in the same chapter we state and show that the interpolation quadratic spline with xed area in each sub-interval can be reduced to the problem of nding a certain interpolation cubic spline (without area restrictions). After that we shall consider the problem of nding a cubic spline with previously xed area in each sub-interval, for di erent initial conditions, with a picture to illustrate. In the end of the chapter we present the description in matrix notation of the original problem as a problem where the goal function consists of a quadratic function with area one and cubic splines restrictions. Finally, in chapter 4 we test computationally our approach with real data and observations of the exponential law, generated randomly. To test the described approach we used the program from section B.9 and the way it works it described in section 4.2.