One-dimensional Modelling of the Space Behaviour of Linearly Elastic Tapered Thin-Walled Bars with Open Cross-Section: Some Contributions

Abstract

The main body of the thesis is divided into two largely self-contained parts. The first one is devoted to the development of a continuous one-dimensional linear model for the stretching, bending and twisting of tapered thin-walled bars with open cross-sections under general quasi-static loading conditions. These bars are treated as two-dimensional Kirchhoff-Love shells, exhibiting both membrane and flexural behaviours. To achieve the necessary dimensional reduction, the classical assumptions of Vlasov and Kirchhoff-Love are regarded systematically as internal constraints, that is, a priori restrictions, of a constitutive nature, on the possible deformations of the bars (alternatively, they may also be viewed as holonomic-scleronomic constraints). Moreover, the internal forces are decomposed additively into active and reactive parts and this is shown to lead to a dual one-dimensional description of kinematics and statics. Two examples illustrate the application of the developed one-dimensional model, shed light on its physical aspects and demonstrate the shortcomings of piecewise prismatic models, regardless of the number of prismatic segments used (indeed, even in the limit when the length of these segments tends to zero). The main original contributions in this first part of the thesis may be summarized as follows: (i) The second fundamental form of the middle surface of a bar and the change of curvature tensor are established in general form. (ii) The displacement field of a whole bar (not just of its middle surface) is completely characterized, thus including the so-called through-the-thickness (or secondary) warping deformation. (iii) In the characterization of the internal forces in the bar, the shell bending and twisting moments and the transverse shear forces are taken into account, in addition to the membrane forces. (iv) The Saint-Venant contribution to the strain energy and the corresponding component of the total torque are derived consistently. (v) A set of fundamental inequalities concerning the cross-sectional properties is established. The second part of the thesis is restricted to the important special case of depth-tapered singly symmetric I-section bars and deals with one-dimensional models of the Hencky bar-chain type, whose nature is intrinsically discrete. Indeed, a Hencky bar-chain model consists of a finite number of rigid units linked by elastic springs (or, more generally, by rheological elements) – it can be thought of not only as an idealization of a (continuous) member, but also as an actual mechanical structure in its own right, the inherent simplicity and transparency of which make its qualitative behaviour more easily grasped. Two types of problem are addressed in successive chapters: (i) the linear mechanical behaviour in three-dimensional space under general quasi-static loading conditions and (ii) the linearized flexural-torsional buckling behaviour under bending (in the plane of symmetry, which is also the plane of greatest flexural rigidity) and compression, including the so-called Wagner effect associated with the asymmetry of the flanges. Particular attention is paid to the calibration of the spring stiffnesses and to the appropriate definition of boundary conditions. It is shown that the bar-chain models are consistent with (but not subordinate to or in any away dependent on) previously developed Vlasov-type continuum models, in the sense that the local truncation errors tend to zero as the length of the rigid units approaches zero. Several illustrative examples, including prismatic and flangeless members (i.e., members with narrow rectangular cross-sections), are solved in order to verify the discrete Hencky bar-chain models and to assess their convergence rates.

Contributos para a Modelação Unidimensional do Comportamento Tridimensional de Barras Não Prismáticas com Secção de Parede Fina Aberta A tese encontra-se dividida em duas partes em larga medida independentes. A primeira é dedicada ao desenvolvimento de um modelo linear unidimensional contínuo para a flexão e torção de barras com secção aberta de paredes finas, continuamente variável, submetidas a carregamentos quase-estáticos genéricos. Estas barras são tratadas como cascas de Kirchhoff-Love (bidimensionais), considerando tanto o comportamento de membrana como o de flexão. Para levar a cabo a necessário redução dimensional, as hipóteses clássicas de Vlasov e Kirchhoff-Love são tratadas sistematicamente como constrangimentos internos, isto é, restrições de natureza constitutiva às possíveis deformações de uma barra (alternativamente, aquelas hipóteses podem também ser vistas como constrangimentos holonómicos-escleronómicos). Assim, as forças internas são decompostas em parcelas activa e reactiva, o que conduz a uma descrição dual (unidimensional) da cinemática e da estática. São apresentados dois exemplos que ilustram a aplicação do modelo unidimensional desenvolvido, esclarecem os seus aspectos físicos e atestam as limitações dos modelos seccionalmente prismáticos (ou “em escada”), independentemente do número de segmentos prismáticos utilizados (de facto, estas limitações mantêm-se mesmo no processo de passagem ao limite quando o comprimento dos segmentos tende a para zero). Os principais contributos originais nesta primeira parte da tese podem ser resumidos da seguinte forma: (i) Obtêm-se expressões gerais para a segunda forma fundamental da superfície média de uma barra e para o tensor de mudança de curvatura (ii) Generaliza-se a definição do campo de deslocamentos da superfície média para todo a barra, incluindo assim a caracterização do empenamento na espessura das paredes (também designado por empenamento secundário). (iii) Na caracterização dos esforços internos, são tidos em consideração não apenas os esforços de membrana, mas também os momentos flectores e de torção e as forças de corte transversais “de casca”. (iv) A contribuição de Saint-Venant para a energia de deformação e a componente correspondente do momento torsor total são obtidas de forma consistente. (v) Estabelece-se um conjunto de desigualdades fundamentais relativas às propriedades mecânicas das secções transversais. A segunda parte da tese, cujo âmbito se restringe ao importante caso particular de barras com secção em I monossimétricas e altura variável, trata de modelos unidimensionais do tipo Hencky, cuja natureza é intrinsecamente discreta. De facto, um modelo de Hencky consiste num número finito de unidades rígidas ligadas por molas elásticas (ou, mais geralmente, por elementos reológicos) e pode ser encarado não apenas como uma idealização de um elemento estrutural contínuo, mas também como uma estrutura real por direito próprio. A sua simplicidade e transparência faz com que o seu comportamento, de um ponto de vista qualitativo, seja mais facilmente apreendido. São abordados dois tipos de problema em capítulos sucessivos: (i) o comportamento linear no espaço tridimensional, sob acções quase-estáticas genéricas e (ii) a encurvadura por flexão-torção (linearizada) de vigas e colunas-viga solicitadas à flexão no seu plano de simetria (que é também o plano de maior rigidez à flexão), incluindo o chamado efeito Wagner associado à assimetria dos banzos. É dada uma especial atenção à calibração das rigidezes da mola e à definição apropriada das condições de fronteira. Mostra-se que os modelos de Hencky, se bem que desenvolvidos de forma totalmente independente, são consistentes com modelos contínuos do tipo Vlasov previamente desenvolvidos, na medida em que os erros de truncatura locais tendem para zero à medida que o comprimento das unidades rígidas também se aproxima de zero. Apresentam-se vários exemplos ilustrativos, que incluem elementos prismáticos e elementos de secção rectangular fina, de forma a verificar os modelos discretos de Hencky e avaliar as suas taxas de convergência.