Modelos envolvendo saltos e difusão modulados por cadeia de Markov

Abstract

Procura-se analisar uma série de questões respeitantes a processos com partes de difusão e de salto, cuja dinâmica depende da evolução de uma cadeia de Markov em tempo contínuo. Para tal, recorre-se à caracterização do processo a partir do seu gerador infinitesimal, o qual é obtido recorrendo a regras de diferenciação estocástica. É considerada uma generalização de uma análise de M. Jacobsen. Admitindo a possibilidade de saltos positivos, procura-se obter a caracterização do tempo até à ruína e do valor do processo nesse momento. É representado o preço de um activo em equilíbrio como um processo deste tipo, a partir de uma exponencial de Doléans-Dade. Numa segunda parte, aborda-se a determinação da esperança de uma função do valor do processo num momento final, da sua distribuição de probabilidade e de dependência entre as parte de difusão e de salto. Constatada esta dependência, conclui-se que o processo não é aditivo. São analisadas diferentes medidas de dependência. Em ambos os casos, obtêm-se sistemas de equações integro-diferenciais, sendo as encontradas na segunda parte equações de Kolmogorov. Recorre-se a transformadas de Fourier e de Laplace de forma a obter equações sem integrais. Numa terceira parte, recorre-se ao critério de hedging de quantil de Föllmer e Leukert para estudar a cobertura do valor final de um processo de salto, através de um activo representado por uma difusão. A análise é feita em mercado incompleto, considerando uma classe de medidas equivalentes e o conceito de superhedging. É obtida uma representação do preço de um activo, sob a medida efectiva e sob uma medida neutra ao risco, obtendo-se assim uma ilustração do teorema de Girsanov. Numa quarta parte, a questão de optimização envolvendo um processo composto, pelo menos em parte, por uma soma de saltos, impondo uma restrição ao número de saltos. Como aplicação, analisa-se, para uma instituição de saúde, o efeito de uma restrição no número esperado de diagnósticos sobre a sua situação financeira.

A set of questions is studied involving jump-diffusion process which dynamics depend on a time continuous Markov chain. To that purpose, it is considered the characterization of that process recurring to the infinitesimal generator, obtained by using stochastic differentiation rules. In a first part, the analysis is a generalization of the one considered by M Jacobsen. Assuming the possibility of positive jumps, it’s made the characterization of the time until ruin and the process value at that moment. It’s obtained also a representation of the value of an asset as a process of this type, by evoking the exponential of Doléans-Dade. In a second part, it is pursued the determination of the expectation of a function of the process value at a future moment, of its probability distribution and of the dependence between the jump and the diffusion parts. The verified dependence allows the conclusion that the process is non-additive. Different dependence measures are studied. In both cases, a system of integro-differential equations is found, being those in the second part Kolmogorov equations. Laplace and Fourier transforms are computed, so that the resulting system is composed of ordinary or differential ordinary equations. In a third part, the quantile hedging analysis introduced by Föllmer and Leukert is evoked to study the hedging of the final value of a jump process by an asset given by a diffusion process. This is done in the case of an incomplete market, where there is a class of equivalent martingale measures and we appeal to the concept of superhedging. A representation of an asset is found in terms of both the real and a risk neutral measure, giving an illustration of Girsanov theorem. In a fourth part, it is raised the question of optimization involving a process composed, at least in part, by a sum of jumps with a restriction on the number of jumps. This is applied to the case of an health institution, where it is identified the effect of a restriction on the expected number of diagnosis on its financial situation.