Análise fatorial

Abstract

A análise fatorial é um método estatístico multivariado cujo objetivo é agrupar p variáveis aleatórias, X1, . . . ,Xp, em grupos formados por variáveis fortemente correlacionadas. Tais grupos constituem os chamados fatores ou variáveis latentes. Os fatores são variáveis aleatórias não observáveis, preferencialmente em número inferior ao das variáveis originais. Neste trabalho, considera-se o modelo fatorial ortogonal, no qual os fatores são ortogonais dois a dois. No modelo fatorial, cada variável original é escrita como combinação linear dos fatores comuns adicionada de um fator específico. Para estimar os coeficientes dos fatores comuns, denominados pesos fatoriais, são abordados dois métodos, nomeadamente, o método das componentes principais e o método da máxima verosimilhança, sendo o primeiro desenvolvido com mais pormenor. Neste sentido, começa-se por definir e obter as componentes principais de uma população. O procedimento correspondente envolve os valores próprios e os vetores próprios da matriz de correlações ou da matriz de variâncias-covariâncias das variáveis X1, . . . ,Xp. Seguidamente, obtêmse as componentes principais amostrais e apresentam-se estimadores para os parâmetros envolvidos, em particular, estimadores de máxima verosimilhança no caso em que o vetor aleatório [X1 . . .Xp]T tem distribuição normal multivariada. Referem-se vários critérios para escolher o número m de fatores, m < p, e, considerando os fatores como eixos ortogonais, aborda-se a rotação ortogonal dos mesmos, com vista a facilitar a sua interpretação. Apesar dos fatores comuns serem variáveis não observáveis, é possível estimar o valor de cada fator (score) para cada indivíduo da amostra. Neste trabalho referem-se dois métodos para atingir esse objetivo: o método dos mínimos quadrados ponderados e o método da regressão. Finalmente, apresenta-se um exemplo de aplicação da análise fatorial, desenvolvido com recurso ao software SPSS.

Factor analysis is a multivariate statistical method with the objective of grouping p random variables X1, . . . ,Xp in groups formed by strongly correlated variables. These groups are called factors or latent variables. The factors are unobservable random variables, preferably in smallest number that the original variables. In this work, is considered the orthogonal factorial model, in which the factors are orthogonal two linear combination of the common factors and added to a specific factor. To estimate the coefficients of common factors, called loadings, we will see two methods, namely, the method of principal components and the method of maximum likelihood, the first being developed in more detail. We starts by define and obtain principal components of a population. The corresponding procedure involves the eigenvalues and eigenvectors of the correlation matrix or the variance-covariance matrix of the variables X1, . . . ,Xp. Then, we obtain the principal components of sample and we present the estimators for involved parameters, in particular, maximum likelihood estimators in case that the random vector [X1 . . .Xp]T has multivariate normal distribution. We refer several criteria to choose the number m of factors, m < p, and, considering the factors as orthogonal axes, we study the orthogonal rotation, to facilitate their interpretation. Although the common factors are unobservable variables, we can estimate the value of each factor (score) for each element of sample. In this work we refer two methods to achieve this objective: the method of weighted least squares and the regression method. Finally, we present an example of application of factor analysis, developed using the SPSS software.