Stochastic Differential Equation Models in Population Dynamics

Abstract

O cálculo estocástico tem adquirido uma grande dimensão durante as últimas décadas, tanto do ponto de vista teórico como prático. Em particular, no ramo da biologia teórica tem contribuído para a dedução de modelos mais realistas, mas ao mesmo tempo mais complexos. O estudo destes modelos reduz-se, por isso, muitas vezes a uma abordagem numérica. Os principais objetivos desta tese passam por motivar, estabelecer e analisar modelos estocásticos de dinâmica de populações que resultam de dois tipos diferentes de aleatoriedade: ambiental e demográfica. De modo a analisarmos a primeira classe de modelos, assim como a justificar o procedimento usado para deduzir a segunda classe, é previamente brevemente apresentada a teoria dos processos de difusão e dos sistemas de equações diferenciais estocásticas. Adicionalmente, apresentamos também um breve estudo numérico dos modelos que é feito recorrendo ao método de Euler-Maruyama.

Stochastic calculus has gained a great expansion in the last decades both from theoretical and practical perspectives. In particular, in the field of theoretical biology, it has contributing for the deduction of more realistic but also less tractable models. Due to the complexity of the mathematical theory behind stochastic calculus, the approaches followed are often limited to numerical technics. The principal aims of this thesis are the motivation, establishment and discussion of classic stochastic differential equation models in population dynamics, resulting from two different types of randomness: environmental and demographic. In order to analyse the first class of models, as well as rigorously justify the procedure used in the second class, we deal with the theory of diffusion processes and Itô stochastic differential systems. Additionally, a numerical study by implementing the Euler-Maruyama method is made.