Polinómios Ortogonais e Transformações Polinominais: Problemas Inversos

Abstract

Os temas tratados nesta dissertação dividem-se, essencialmente, em duas partes. Na primeira parte analisa-se a regularidade da solução de certa equação diferencial distribucional, definida no dual (topológico) do espaço dos polinómios. Concretamente, estabelecem-se condições necessárias e suficientes para que um funcional linear u, solução de uma equação diferencial distribucional de tipo Pearson, D(Fu)= yu, onde F e y são polinómios de graus quando muito 2 e 1 (resp.), seja regular, i.e., tal que existe uma sucessão de polinómios ortogonais (SPO) associada a u. Descreve-se a solução do problema anterior e mostra-se como construir a SPO associada a partir do mero conhecimento dos polinómios F e y. Na segunda parte analisam-se SPO's definidas por uma transformação polinomial efectuada na variável de uma dada SPO, do tipo Qkn+m(x)=Rm(x)Pn(T k(x)), onde k e m são números inteiros não negativos, com mn), e a partir daíobter a medida de ortogonalidade para esta sucessão (“problema inverso´´). Analisam-se com detalhe os casos k=2,3 (e todas as possíveis escolhas de m), pondo em evidência que são os chamados polinómios co-recursivos que desempenham um papel crucial na análise dos problemas em discussão. Tecnicamente, no caso geral, o problema é extremamente complicado, pois requer a resolução de sistemas de equações de diferenças não lineares. Do ponto de vista das aplicações, este estudo é interessante em dois domínios: álgebra Linear (na determinação explícita de valores e vectores próprios de matrizes tridiagonais k-Toeplitz) e Mecânica Quântica (na descrição do chamado “Chain Model´´).