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Title: Interpolação suave em espaços euclidianos e outras variedades riemanianas
Authors: Rodrigues, Rui Manuel Carreira 
Orientador: Leite, Fátima Silva
Keywords: Variedades riemannianas; Splines; Controlo optimal; Algoritmos
Issue Date: 10-Apr-2007
Citation: RODRIGUES, Rui Manuel Carreira - Interpolação suave em espaços euclidianos e outras variedades riemanianas. Coimbra, 2006.
Abstract: Esta dissertação é dedicada ao estudo de problemas de interpolação suave em variedades Riemanianas. O trabalho está dividido em duas partes. Na primeira parte analisamos certas curvas spline em espaços Euclidianos e estudamos qual a sua relação com problemas de interpolação dinâmica. Em particular, estendemos à classe mais geral das funções L-spline, resultados anteriores para splines generalizados escalares e estudamos uma classe de novos splines multi-dimensionais, em espaços Euclidianos de dimensão arbitrária, associados a operadores diferenciais lineares com coeficientes matriciais. Em ambos os casos, são estabelecidas ligações com problemas de controlo optimal. Na segunda parte apresentamos dois algoritmos geométricos para a geração de curvas interpoladoras suaves em variedades Riemanianas conexas e completas, tais como, grupos de Lie matriciais conexos e compactos e a esfera n-dimensional. Cada algoritmo é composto por um pequeno número de passos que é independente da suavidade da curva. Esta propriedade é consequência do papel desempenhado por uma determinada função (função suavizante) que é escolhida logo que a suavidade da curva esteja definida.>br> Palavras chave: Curvas interpoladoras suaves, L-splines, splines generalizados, operadores diferenciais lineares com coeficientes matriciais, cálculo das variações, controlo optimal, sistemas lineares de controlo, variedades Riemanianas, grupos de Lie matriciais, algoritmo de De Casteljau, algoritmos geométricos.
In this thesis we study smooth interpolating curves on Riemannian manifolds. In the first part of the thesis we explore connections between splines in Euclidean spaces associated to linear differential operators and dynamical interpolation problems. We emphasize the optimal properties of some Euclidean splines, known in the literature as L-splines, extending previous work on scalar generalized splines. We then consider a class of linear-quadratic problems and use tools from optimal control to produce new time-dependent splines in arbitrary Euclidean spaces, associated to linear differential operators with matrix coefficients. This first part shows that splines are intrinsic to optimal control theory since they appear naturally as minimizers of some optimal control problems. In the second part of the thesis we present two simple and efficient geometric algorithms to generate interpolating curves of arbitrary degree of smoothness in Euclidean spaces. Each algorithm consists of a recursive procedure and is performed in a small number of steps, independently of the required degree of smoothness of the curve. This interesting property of both algorithms results from the role played by an appropriate function (the smoothing function) which is used to define the interpolating curve and is chosen as soon as the smoothness of the curve is fixed. These algorithms are then extended to other connected and complete Riemannian manifolds such as, compact and connected matrix Lie groups and spheres. Some of the results of the thesis can be found in (Rui C. Rodrigues and F. Silva Leite: 2002), (Rui C. Rodrigues and F. Silva Leite: 2006), (Rui C. Rodrigues and Delfim F. M. Torres: 2006), (Rui C. Rodrigues, F. Silva Leite and Janusz Jakubiak: 2005) and (Janusz Jakubiak, F. Silva Leite and Rui C. Rodrigues: 2006).
Description: Tese de doutoramento em Matemática (Matemática Pura) apresentada a Fac. de Ciências e Tecnologia de Coimbra
URI: http://hdl.handle.net/10316/1950
Rights: embargoedAccess
Appears in Collections:FCTUC Matemática - Teses de Doutoramento

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