A Numerical Method for Pricing Asian Options

Abstract

The financial sector has a long and significant history dating back to the early 1970s, and has experienced significant growth. As a result, various financial derivatives have emerged on the market, providing investors with a wide range of investment opportunities and strategies. This thesis discusses a type of option contract called Asian options, which are an exotic financial derivative product. The Asian option, also known as the average option, calculates its payout based on the average price of an underlying asset over a specific period. This differs from standard options like American and European options, which base their payout on the asset's price at a particular time (maturity). This unique feature of the Asian option allows the buyer to purchase or sell the underlying asset at the average price over the specified period rather than the spot price. It provides an effective shield against potential losses caused by unpredictable fluctuations in the underlying asset's value. The pricing of Asian options is complex and requires numerical evaluation to determine their value. We will derive its model within the Black-Scholes framework, which is a two-dimensional partial differential equation. We will demonstrate that this model can be approximated by a one-dimensional model. We will apply the Crank-Nicolson method to derive approximated solutions to the model, analyze their behavior, and finally provide some numerical illustrations to understand these unique options better.

O sector financeiro tem uma longa e relevante história que remonta ao início da década de 1970 e tem registado um crescimento significativo. Como resultado, surgiram no mercado vários derivados financeiros, proporcionando aos investidores diversas oportunidades e estratégias de investimento. Esta tese discute um tipo de contrato de opção denominado opções asiáticas, que é um produto derivado financeiro exótico. A opção asiática, também conhecida como opção de média, calcula o seu pagamento com base no preço médio de um ativo subjacente durante um período específico. Isto difere das opções standart, como as opções americanas e europeias, que baseiam o seu pagamento no preço do ativo num determinado momento (maturidade). Esta caraterística única da opção asiática permite ao comprador comprar ou vender o ativo subjacente ao preço médio durante o período especificado e não ao preço à vista. Constitui um escudo eficaz contra perdas potenciais causadas por flutuações imprevisíveis no valor do ativo subjacente. A determinação do preço das opções asiáticas é complexa e requer uma avaliação numérica para determinar o seu valor. Vamos derivar o seu modelo no contexto de Black-Scholes, que é uma equação diferencial parcial bidimensional. Demonstrar que este modelo pode ser aproximado por um modelo unidimensional. E iremos aplicar o método de Crank-Nicolson para obter soluções aproximadas para o modelo, analisar o seu comportamento e, finalmente, fornecer algumas ilustrações numéricas para compreender melhor estas opções.