Coupling light propagation and diffusion in drug delivery: a mathematical approach

Abstract

Neste trabalho estudamos métodos numéricos para sistemas de equações com derivadas parciais que surgem no contexto da libertação controlada de fármacos ativada por luz. Devido à sua natureza não invasiva, fácil utilização, e controlo espacial e temporal, a luz é considerada uma ferramenta mágica para a libertação controlada de fármacos. Sistemas poliméricos fotossensíveis para a libertação controlada de fármacos podem ser classificados em sistemas fotoquímicos e sistemas fototérmicos, dependendo da natureza das ligações entre as partículas de fármaco e as cadeias poliméricas. Nestetrabalho consideramos sistemas fotoquímicos. Atendendo ao espalhamento dos fotões, podemos utilizar uma equação parabólica para modelar a propagação da luz em polímeros e tecido vivo. Consequentemente, modelamos a libertação controlada de fármacos a partir de uma estrutura polimérica fotossensível por um sistema de equações de derivadas parciais que descreve a propagação da luz, a dinâmica entre fármaco ligado e livre e o transporte do fármaco livre.Os esquemas numéricos investigados neste trabalho assentam em discretizações espaciais baseadas em métodos de diferenças finitas que, utilizando fórmulas de quadratura adequadas, podem ser escritos como métodos de elementos finitos segmentados lineares. A análise da estabilidade e convergência dos esquemas numéricos propostos é o principal objetivo deste trabalho. Notamos que o estudo da estabilidade requer a limitação uniforme da solução numérica relativamente ao tamanho das malhas.Esta propriedade é demonstrada utilizando as estimativas de erro estabelecidas para soluções regulares e não regulares. Simulações numéricas ilustram os principais resultados teóricos e a aplicabilidade do modelo no contexto da libertação controlada de fármacos recorrendo a polímeros fotossensíveis.

This work aims to study numerical methods for systems of partial differential equations (PDEs) that arise in light-controlled drug delivery. Because of its noninvasive nature, ease of application, and temporal and spatial control, light has been called a magic tool for controlled drug delivery. We can classify light-responsive polymeric drug carriers into photochemical and photothermal, depending on the nature of the links between the drug particles and the polymeric chains. In this work, we consider photochemical drug carriers. Due to photon scattering, we can use a diffusion equation to describelight propagation through polymeric structures and live tissue. Consequently, we can model drug release from a light-responsive polymer using a system of PDEs that describes light propagation, bound and unbound drug dynamics, and drug transport.The numerical schemes investigated in this work rely on space discretizations based on finite differences methods that, under appropriate integration rules, can be written as piecewise linear finite element methods. The stability and convergence analysis of the proposed numerical schemes are the main objectives of this work. We remark that the proof of stability requires the uniform boundedness of the numerical solution with respect to the mesh’s step sizes. Such boundedness is determined using error estimates established for smooth and nonsmooth solutions. Numerical experiments illustrate themain theoretical results and the model’s applicability to light-controlled drug delivery.