Propagação de ondas em materiais viscoelásticos: estudo analítico e numérico

Abstract

Nesta dissertação é estudado um problema de condições de fronteira e iniciais que descreve o deslocamento de uma onda num meio viscoelástico obtido considerando que a relação funcional entre a tensão e a deformação do meio é caracterizada pelo modelo de Kelvin-Voigt. Para o problema de condições iniciais e de fronteira, são estabelecidos resultados de existência considerando o método de separação de variáveis e de unicidade e estabilidade recorrendo ao método de energia.Do ponto de vista numérico, nesta dissertação é proposto um método numérico pertencente à família dos métodos de diferenças finitas. O estudo deste método é feito em duas fases distintas: numa primeira fase estuda-se a aproximação semi-discreta definida sobre uma partição não uniforme e, posteriormente, estuda-se o métodos completamente discreto conjugando a discretização espacial já considerada com uma integração temporal definida a partir de uma partição uniforme. Num contexto funcional adequado, provou-se que, relativamente a uma norma discreta que pode ser vista como uma discretização da norma usual de $H^1$, ambos os métodos têm convergência espacial quadrática e, no caso do método discreto, a convergência no tempo é de 1ª ordem. Mais, com auxílio do programa {\it Matlab}, são incluídos exemplos numéricos que ilustram os resultados de convergência estabelecidos, bem como o comportamento qualitativos do modelo estudado, utilizando valores reais de propriedades físicas encontradas nos tecidos de um fígado humano.

In this thesis, a boundary and initial conditions problem describing the displacement of a wave in a viscoelastic medium obtained considering that the functional relationship between the stress and the strain of the medium is characterized by the Kelvin-Voigt model. For the problem of initial and boundary conditions, existence results are established considering the method of separation of variables, uniqueness and stability using the energy method.From the numerical point of view, in this dissertation a numerical method belonging to the family of finite difference methods is proposed. The study of this method is done in two distinct phases: in a first phase we study the semi-discrete approximation defined over a non-uniform partition and, afterwards, we study the fully discrete method combining the spatial discretization already considered with a temporal integration defined from a uniform partition. In a proper functional context, it is proved that, for a discrete norm that can be seen as a discretization of the usual norm of $H^1$, both methods have quadratic spatial convergence and, in the case of the discrete method, the convergence in time is of 1st order. Further, with the aid of the program {Matlab}, numerical examples are included that illustrate the established convergence results as well as the qualitative behavior of the model studied, using real values of physical properties found in the tissues of a human liver.In a proper functional context, it is proved that, for a discrete norm that can be seen as a discretization of the usual norm of $H^1$, both methods have quadratic spatial convergence and, in the case of the discrete method, the convergence in time is of 1st order. Further, with the aid of the program {Matlab}, numerical examples are included that illustrate the established convergence results as well as the qualitative behavior of the model studied, using real values of physical properties found in the tissues of a human liver.