Eulerian Ideals and beyond

Abstract

O anel de polinómios K[x_1,...,x_n], com K um corpo, é um conceito importante na Álgebra Comutativa. Os matemáticos têm trabalhado com anéis de polinómios e os seus ideais desde o final do século XIX, mas a Álgebra Comutativa apenas se concretizou como um ramo da matemática no século XX. Foi em 1921, com o trabalho de Emmy Noether, que muitos dos atuais conceitos abstratos que estudamos em Álgebra Comutativa, ganharam a atenção da comunidade matemática. Hoje em dia, há uma nova área de investigação que combina a Álgebra Comutativa com a Combinatória, através do anel de polinómios. Neste trabalho, vamos estudar alguma da teoria necessária para compreender alguns conceitos deste ramo da matemática, que tem hoje o nome de Álgebra Comutativa Combinatória. Começamos por estudar propriedades gerais de módulos e de outros conceitos relacionados, como sequências exactas e módulos de sizígias. Explicamos como construir resoluções livres de um módulo e enunciamos o Teorema das Sizígias de Hilbert. Depois passamos para a teoria dos módulos graduados. Mostramos que os módulos de sizígias podem ser vistos como submódulos graduados, e definimos resoluções graduadas. Apresentamos também a sua construção, e de seguida enunciamos a versão graduada do Teorema das Sizígias de Hilbert. Terminamos o capítulo da teoria preliminar definindo a função de Hilbert, dando exemplos, e mostrando que esta é de tipo polinomial. Relativamente à Álgebra Comutativa Combinatória, vamos apresentar uma construção que liga as ferramentas algébricas mencionadas à teoria dos grafos, o ideal Euleriano de um grafo. Vamos apresentar os resultados e as demonstrações de Neves, Vaz Pinto, e Villarreal. Primeiro caracterizamos os geradores do ideal usando os subgrafos Eulerianos do grafo. Mostramos que o polinómio de Hilbert do módulo quociente pelo ideal Euleriano é constante, e estudamos o índice de regularidade deste módulo. Nesse estudo caracterizamos o índice de regularidade para grafos bipartidos, através das junções do grafo. De seguida estudamos T-junções e apresentamos a relação entre junção e T-junção. Estes resultados são depois usados para calcular, de forma explícita, o índice de regularidade para os grafos bipartidos completos, e Hamiltonianos bipartidos. Depois generalizamos a construção do ideal Euleriano para hipergrafos. Focamo-nos em hipergrafos k-uniformes, e generalizamos para estes os resultados apresentados para grafos. Em particular, caracterizamos o índice de regularidade para hipergrafos k-uniformes k-partidos, calculando-o para o caso k-partido completo.

The polynomial ring K[x_1,...,x_n], with K a field, is an important concept in commutative algebra. Mathematicians have been working with polynomial rings and their ideals since the late XIX century, but commutative algebra itself only came alive, as a field of mathematics, in the XX century. It was in 1921, with the work of Emmy Noether, that many of the current abstract concepts we study in commutative algebra drew the attention of the mathematical community. Nowadays there is a new area of research that combines commutative algebra and combinatorics through the polynomial ring. In this work we will study some of the theory necessary to comprehend many concepts of this field of mathematics, now called combinatorial commutative algebra. We begin by studying general properties of modules and other related concepts, such as exact sequences and syzygy modules. We explain how to construct a free resolution of a module and enunciate the Hilbert's Syzygy Theorem. Then we move on to the theory of graded modules. We show syzygy modules can be seen as graded submodules, and define graded resolutions. For these we will also give the construction, and then enunciate the graded version of the Syzygy Theorem of Hilbert. We end the chapter of the preliminary theory by defining the Hilbert function, giving examples, and showing it is a function of polynomial type. Regarding combinatorial commutative algebra, we will present one construction that connects the algebraic tools we mentioned before to the theory of graphs, the Eulerian ideal of a graph. We will present the results and proofs of Neves, Vaz Pinto, and Villarreal. We first characterize the generators of the ideal using the Eulerian subgraphs of the graph. We prove that the Hilbert polynomial of the quotient module by the Eulerian ideal is constant, and study the regularity index of this module. Then we present a characterization of this regularity index, for bipartite graphs, using the joins of the graph. After that, we study T-joins and present the connection between join and T-join. These results are then used to explicitly calculate the regularity index for the complete bipartite graphs, and Hamiltonian bipartite graphs. Afterwards, we generalize the construction of the Eulerian ideal for hypergraphs. We focus on k-uniform hypergraphs, and generalize for these the results presented for graphs. In particular, we characterize the regularity index for k-partite k-uniform hypergraphs, and calculate it for the complete k-partite case.