Non-standard ranks of matrices

Abstract

In this work we study two matrix rank minimization problems, which lead to two new notions of matrix rank. In the first one, our goal is to minimize the rank of a complex matrix whose absolute values of the entries are given. We call this minimum the phaseless rank of the matrix of the entrywise absolute values. In the second, the rank minimization is performed over complex matrices whose entries have prescribed arguments. In this case, the minimum is named as the phase rank of the matrix of phases or arguments. Regarding phaseless rank, we extend a classic result of Camion and Hoffman and connect it to the study of amoebas of determinantal varieties and of semidefinite representations of convex sets. As a result, we prove that the set of maximal minors of a matrix of indeterminates forms an amoeba basis for the ideal they define, and we attain a new upper bound on the complex semidefinite extension complexity of polytopes, dependent only on their number of vertices and facets. We also highlight the connections between the notion of phaseless rank and the problem of finding large sets of complex equiangular lines or mutually unbiased bases. The main contributions on phase rank are a new and simpler characterization of the 3×3 case, more specifically that the coamoeba of the 3×3 determinant is completely characterized by the condition of colopsidedness, and a simple upper bound on the phase rank dependent only on the dimensions of the matrix.

Nesta tese estudamos dois problemas de minimização de característica matricial, que dão origem eles próprios a dois novos conceitos de característica matricial. No primeiro deles, pretendemos determinar a característica mínima de todas as matrizes complexas cujos valores absolutos das entradas são dados. Este mínimo é chamado característica sem fase da matriz dos valores absolutos. No segundo, a minimização da característica restringe-se às matrizes complexas cujos argumentos estão fixos. Neste caso, o mínimo é designado por característica de fase da matriz dos argumentos. Relativamente à característica sem fase, generalizamos um resultado clássico de Camion e Hoffman que pode ser reinterpretado em termos de amibas de variedades determinantais e ligado às representações semidefinidas de conjuntos convexos. Em particular, provamos que o conjunto dos menores maximais de uma matriz de variáveis constitui uma base da amiba do ideal por eles definido, além de obtermos um novo majorante para a complexidade de extensão complexa semidefinida de polítopos, dependente apenas dos seus números de vértices e facetas. Enfatizamos também as relações entre o conceito de característica sem fase e os problemas das linhas equiangulares complexas e das "mutually unbiased bases". Quanto à característica de fase, os principais contributos desta tese são uma nova e mais simples caracterização do caso 3×3, nomeadamente que a coamiba do determinante 3×3 é totalmente determinada pela condição de "colopsidedness", e um majorante simples para a característica de fase que depende apenas das dimensões da matriz.