On some Problems in the Theory of Orthogonal Polynomials

Abstract

In this thesis we solve several problems in the theory of orthogonal polynomial sequences (OPS). In bellow we summarize the main contributions.

(i) Let ${\bf u}$ be a nonzero linear functional acting on the space of polynomials $\mathcal{P}$. Let $\mathbf{D}_{q,\omega}$ be a Hahn operator acting on the dual space of polynomials $\mathcal{P}'$. Suppose that there exist polynomials $\phi$ and $\psi$, with $\deg\phi\leq2$ and $\deg\psi\leq1$, so that the functional equation \begin{align}\nonumber \mathbf{D}_{q,\omega}(\phi {\bf u})=\psi{\bf u} \end{align} holds, where the involved operations are defined in the distributional sense. We state necessary and sufficient conditions, involving only the coefficients of $\phi$ and $\psi$, such that ${\bf u}$ is regular, that is, there exists an OPS with respect to ${\bf u}$. In addition, the coefficients of the three-term recurrence relation (TTRR) satisfied by the corresponding monic OPS are given, as well as a distributional Rodrigues-type formula, which holds without assuming that ${\bf u}$ is regular.

(ii) Let $M$ and $N$ be fixed non-negative integer numbers and let $\pi_N$ be a polynomial of degree $N$. Suppose that $(P_n)_{n\geq0}$ and $(Q_n)_{n\geq0}$ are two OPS such that $$ %\begin{align}\nonumber %\label{coherence-outline} \pi_N(x)\,P_{n+m}^{(m)}(x)= \sum_{j=n-M}^{n+N}r_{n,j}Q_{j+k}^{(k)}(x)\quad (n=0,1,\ldots)\,, \eqno(*) $$ %\end{align} where $r_{n,j}$ are complex numbers independent of $x$. It is shown that under some natural constraints, $(P_n)_{n\geq0}$ and $(Q_n)_{n\geq0}$ are semiclassical OPS. That is, there exist nonzero polynomials $\phi_1$, $\phi_2$, $\psi_1$ and $\psi_2$ such that the corresponding functionals ${\bf u}$ and ${\bf v}$ fulfill the functional equations $${\bf D}(\phi_1 {\bf u})=\psi_1 {\bf u},\quad \quad {\bf D}(\phi_2 {\bf v})=\psi_2 {\bf v}.$$ Moreover we show that ${\bf u}$ and ${\bf v}$ are related by a rational modification in the distributional sense, meaning that $P{\bf u}=Q{\bf v}$ for some nonzero polynomials $P,Q \in \mathcal{P}$. This leads us to introduce the concept of $\pi_N-$coherent pairs with index $M$ and order $(m,k)$.

(iii) We extend the previous concept to the one of $\pi_N$-$(q,\omega)$-coherent pairs with index $M$ and order $(m,k)$, which appears in the framework of discrete OPS by replacing in $(*)$ the ordinary derivative by the discrete Hahn's operator $D_{q,\omega}$. This leads to the (structure) relation \begin{align}\nonumber %\label{coherence-outline-discrete} \pi_N(x)\,D_{q,\omega} ^m P_{n+m} (x)= \sum_{j=n-M}^{n+N}r_{n,j}D_{q,\omega} ^k Q_{j+k}(x)\quad (n=0,1,\ldots)\,. \end{align} Again, in this situation, it is shown that under some natural constraints, $(P_n)_{n\geq0}$ and $(Q_n)_{n\geq0}$ are semiclassical OPS (with respect to $D_{q,\omega}$) and the corresponding functionals are related by a (distributional) rational modification. Some examples of application are given, recovering in a more simple way some known results in the literature about the subject. Our results enable us to describe in a unified way all the classical OPS with respect to Jackson's operator, which appear as special or limiting cases of a four parametric family of $q$-polynomials.

(iv) Let us consider now that ${\bf u}$ is a functional on $\mathcal{P}$ satisfying the more general functional equation \begin{align}\nonumber %\label{Dx-u-outline} \mathbf{D}_x(\phi {\bf u})={\bf S}_x(\psi{\bf u}), \end{align} where $\mathbf{D}_x$ and $\mathbf{S}_x$ are operators defined on $\mathcal{P}'$ in the usual way, in the framework of the theory of OPS on a nonuniform lattice, $x(s)$, that includes as a special case the lattice associated with the so-called Askey-Wilson operator, namely $x(s)=\frac12q^{-s}+\frac12 q^s$. We state necessary and sufficient conditions for the regularity of ${\bf u}$, giving, in addition, closed formulas for the coefficients of the TTRR of the corresponding monic OPS, as well as a Rodrigues-type formula. Some examples are given to point out the power of our formulas in the framework of classical OPS on nonuniform lattices. In particular, our results enable us to derive in a simple way the coefficients of the TTRR of the Racah polynomials as well as the ones for the Askey-Wilson polynomials.

(v) Let $(P_n)_{n\geq 0}$ be a monic OPS and $\pi$ a polynomial of a degree at most two such that $$\pi(x)D_xP_{n}(x)=(a_nx+b_n)P_n(x)+c_nP_{n-1}(x)\quad (n=0,1,2\ldots),$$ for some complex sequences coefficients $a_n$, $b_n$ and $c_n$. M. E. H. Ismail posed the problem of characterizing all OPS fulfilling this structure relation, for the lattice associated with the Askey-Wilson operator. Ismail conjectured (see \cite[Conjecture 24.7.8]{I2005}) that the continuous $q-$Jacobi polynomials, the Al-Salam-Chihara polynomials, or special or limiting cases of them, are the only OPS fulfilling the structure relation. Using the main result obtained in (iv) we give a positive answer to Ismail's conjecture.

Nesta dissertação resolvem-se vários problemas na âmbito da teoria das sucessões de polinómios ortogonais (SPO). As contribuições principais apresentadas são descritas em seguida.

(i) Seja ${\bf u}$ uma funcional linear não nula definida sobre o espaço dos polinómios, $\mathcal{P}$. Seja $\mathbf{D}_{q,\omega}$ um operador de Hahn que actua no espaço dual $\mathcal{P}'$. Suponha-se que existem polinómios $\phi$ e $\psi$, com $\phi$ e $\psi$ polinómios de graus não superiores a $2$ e $1$, respectivamente, tais que ${\bf u}$ satisfaz a equação funcional \begin{align}\nonumber \mathbf{D}_{q,\omega}(\phi {\bf u})=\psi{\bf u}\;, \end{align} onde as operações são definidas no sentido usual da teoria das distribuições. Estabelecem-se condições necessárias e suficientes, envolvendo apenas os coeficientes de $\phi$ e $\psi$, tais que ${\bf u}$ é regular, isto é, existe uma SPO a respeito de ${\bf u}$. Além disso, os coeficientes da relação de recorrência a três termos (RRTT) verificada pela correspondente SPO mónica são dados de forma explícita. É também apresentada uma fórmula de tipo Rodrigues distribucional, a qual se verifica mesmo que ${\bf u}$ não seja regular.

(ii) Sejam $M$ e $N$ números inteiros não negativos fixados e $\pi_N$ um polinómio de grau $N$. Sejam $(P_n)_{n\geq0}$ e $(Q_n)_{n\geq0}$ duas SPO tais que $$ %\begin{align}\nonumber %\label{coherence-outline} \pi_N(x)\,P_{n+m}^{(m)}(x)= \sum_{j=n-M}^{n+N}r_{n,j}Q_{j+k}^{(k)}(x)\quad (n=0,1,\ldots)\,, \eqno(*) $$ onde cada $r_{n,j}$ é um número complexo independente de $x$. Prova-se que, sob certas reservas naturais, $(P_n)_{n\geq0}$ e $(Q_n)_{n\geq0}$ são SPO semiclássicas, isto é, existem polinómios não nulos $\phi_1$, $\phi_2$, $\psi_1$ e $\psi_2$ tais que as correspondentes funcionais regulares ${\bf u}$ e ${\bf v}$ satisfazem as equações funcionais $${\bf D}(\phi_1 {\bf u})=\psi_1 {\bf u},\quad \quad {\bf D}(\phi_2 {\bf v})=\psi_2 {\bf v}.$$ Prova-se ainda que ${\bf u}$ e ${\bf v}$ estão relacionados por uma modificação racional, no sentido distribucional, o que significa que $P{\bf u}=Q{\bf v}$ para certos polinómios $P,Q \in \mathcal{P}$. Estes factos conduzem ao conceito de pares $\pi_N-$coerentes de índice $M$ e ordem $(m,k)$.

(iii) O conceito anterior é estendido para o conceito de pares $\pi_N$-$(q,\omega)$-coerentes de índice $M$ e ordem $(m,k)$, no contexto das SPO discretas, substituindo em $(*)$ o operador derivada usual pelo operador de Hahn $D_{q,\omega}$. Isto conduz à relação de estrutura \begin{align}\nonumber %\label{coherence-outline-discrete} \pi_N(x)\,D_{q,\omega} ^m P_{n+m} (x)= \sum_{j=n-M}^{n+N}r_{n,j}D_{q,\omega} ^k Q_{j+k}(x)\quad (n=0,1,\ldots)\,. \end{align} De novo, nesta situação, mostra-se que, assumindo certas condições naturais, $(P_n)_{n\geq0}$ e $(Q_n)_{n\geq0}$ são SPO semiclássicas (a respeito de $D_{q,\omega}$) e que as funcionais regulares associadas estão relacionadas por uma modificação racional (no sentido distribucional). São apresentados alguns exemplos de aplicação, recuperando de forma simples alguns resultados conhecidos na literatura. Os resultados apresentados permitem ainda descrever de forma unificada todas as SPO clássicas a respeito do operador de Jackson, as quais são representadas como casos especiais ou caso limite de uma família de $q$-polinómios envolvendo quatro parâmetros.

(iv) Seja agora ${\bf u}$ uma funcional linear em $\mathcal{P}$ que satisfaz a equação funcional mais geral \begin{align}\nonumber %\label{Dx-u-outline} \mathbf{D}_x(\phi {\bf u})={\bf S}_x(\psi{\bf u}), \end{align} onde $\mathbf{D}_x$ e $\mathbf{S}_x$ são operadores definidos em $\mathcal{P}'$ da maneira usual, no contexto da teoria das SPO em redes não uniformes, $x(s)$, o que inclui como caso especial a rede associada ao chamado operador de Askey-Wilson, nomeadamente, $x(s)=\frac12q^{-s}+\frac12 q^s$. Estabelecem-se condições necessárias e suficientes para a regularidade de ${\bf u}$. Para além disso, dão-se fórmulas fechadas para os coeficientes da RRTT da correspondente SPO mónica, bem como uma fórmula de tipo Rodrigues. São apresentados alguns exemplos que evidenciam que tais fórmulas são muito poderosas no contexto das SPO clássicas em redes não uniformes. Em particular, os resultados obtidos permitem obter de forma simples os coeficientes da RRTT para os polinómios de Racah, bem como para os polinómios de Askey-Wilson.

(v) Sejam $(P_n)_{n\geq 0}$ uma SPO mónica e $\pi$ um polinómio de grau quando muito igual a dois que satisfazem a relação de estrutura $$\pi(x)D_xP_{n}(x)=(a_nx+b_n)P_n(x)+c_nP_{n-1}(x)\quad (n=0,1,2,\ldots),$$ onde $a_n$, $b_n$ e $c_n$ são parâmetros reais ou complexos. M. E. H. Ismail colocou o problema de caracterizar tais SPO para a rede associada ao operador de Askey-Wilson. Ismail conjecturou (veja-se \cite[Conjecture 24.7.8]{I2005}) que os polinómios $q-$Jacobi contínuos, os polinómios de Al-Salam Chihara, ou casos especiais ou limite destes, constituem as únicas SPO que satisfazem aquela relação de estrutura. Usando o resultado principal estabelecido em (iv), damos uma resposta positiva à conjectura de Ismail.