Coupling Hyperbolic and Parabolic IBVP: Applications to Drug Delivery

Abstract

In this thesis, we study a system of partial differential equations defined by a hyperbolic equation - a wave equation, and two parabolic equations - a quasilinear diffusion-reaction equation and a convection-diffusion-reaction equation. In this system, the reaction term of the first parabolic equation depends on the solution of the wave equation, the convective velocity of the second parabolic equation depends on the solution of the wave equation and its gradient, and the diffusion coefficient of the convection-diffusion-reaction equation depends on the solutions of the other two equations. This system arises in the mathematical modeling of several multiphysics processes, as for instance in ultrasound enhanced drug delivery. In this case, the propagation of the acoustic pressure wave, which is described by the hyperbolic equation, induces an increase in the temperature of the target tissue, an increase of the convective drug transport, and the increase of the temperature induces an increase of the diffusion drug transport. Here we propose an algorithm to solve this coupled problem defined in a two-dimensional spatial domain. Our numerical method can be seen, simultaneously, as a fully discrete in space, piecewise linear finite element method, where special quadrature rules are considered, and as a finite difference method defined in nonuniform rectangular grids. We provide the theoretical convergence support where we show that the numerical approximations for the solution of the hyperbolic equation are second order convergent with respect to a discrete $H^1$- norm. This result allows us to conclude that the numerical approximations for the gradient do not deteriorate the quality of the numerical approximations for the solution of the last parabolic equation. For the numerical approximations for the two parabolic equations, we also establish second order convergence but with respect to a discrete $L^2$- norm. These convergence results are proved assuming lower regularity conditions than those usually imposed.

In the scope of the finite difference methods, our results can be seen as supraconvergence results because the method uses nonuniform rectangular grids where the correspondent truncation errors are only first order convergent with respect to the norm $\| . \|_\infty$. As the method can be constructed considering piecewise linear finite element method, in the language of the finite element methods our results can be seen as superconvergence results. In fact, it is well known that piecewise linear finite element methods for elliptic equations lead to first order convergent approximations with respect to the usual $H^1$- norm. Numerical results illustrating the theoretical support are also included, highlighting the sharpness of the smoothness assumption on the solutions of the multiphysics problem. It is reported in the literature the use of ultrasound to increase the drug transport and its absorption within the target tissue in different contexts, as for instance in cancer treatment. A simple version of the mathematical problem studied in this work is considered to illustrate the effectiveness of the use of ultrasound to enhance the drug transport.

Nesta tese estudamos um sistema de equações diferenciais de derivadas parciais definido por uma equação hiperbólica – uma equação de onda, e duas equações parabólicas – uma equação de difusão-reação quase linear e uma equação de convecção-difusão-reação. Neste sistema, o termo reativo da primeira equação parabólica depende da solução da equação da onda, e a velocidade convectiva da segunda equação parabólica depende da solução da primeira equação e do seu gradiente. O coeficiente de difusão da última equação depende também das soluções das duas primeiras equações. O problema matemático que motivou esta dissertação surge no contexto de diversos problemas físicos, como por exemplo, no contexto da libertação controlada de fármacos estimulada por ultrassons. Neste caso, a propagação da onda de pressão acústica descrita pela equação hiperbólica, induz um aumento da temperatura no tecido alvo, um aumento no transporte do fármaco, e o aumento da temperatura induz um aumento do transporte difusivo do fármaco. Neste trabalho, propomos um método numérico para o sistema diferencial definido num domínio espacial de duas dimensões. O nosso método pode ser visto, simultaneamente, como um método de elementos finitos segmentado linear discreto no espaço, e como um método de diferenças finitas definido em malhas retangulares não uniformes. Para este método provamos a segunda ordem de convergência, relativamente a uma norma que pode ser vista como uma versão discreta da norma usual de $H^1$, para a discretização da equação hiperbólica. Este resultado permite concluir que a aproximação para o gradiente não deteriora a qualidade da aproximação para a concentração. Estabelecemos que as aproximações para a temperatura e para a concentração também são de segunda ordem, mas relativamente a uma norma que pode ser vista como uma discretização da norma usual de $L^2$. Os resultados de convergência são demonstrados utilizando condições de regularidade mais fracas do que as usadas usualmente. No contexto dos métodos de diferenças finitas, uma vez que consideramos malhas não uniformes onde os erros de truncatura associados são de primeira ordem relativamente à norma $\| . \|_\infty$, os nossos resultados podem ser vistos como resultados de supraconvergência. Visto que o método proposto pode ser visto como um método de elementos finitos segmentado linear, no contexto dos métodos de elementos finitos os nossos resultados podem ser vistos como resultados de superconvergência. De facto, é bem conhecido que os métodos de elementos finitos segmentados lineares para equações elípticas levam a aproximações convergentes de primeira ordem, relativamente à norma usual de $H^1$. Os resultados teóricos obtidos são ilustrados numericamente. A precisão das condições de regularidade impostas às soluções do sistema diferencial contínuo é também analisada numericamente. Podemos encontrar na literatura que o uso de ultrassons leva a um aumento do transporte do fármaco e da sua absorção pelo tecido alvo em diferentes contextos, como por exemplo em tratamentos de cancro. Uma versão simples do sistema estudado neste trabalho é considerada para ilustrar a eficiência do uso dos ultrassons como estímulo ao transporte de fármacos.