Transferência de calor com condições de Robin

Abstract

Neste trabalho é estudado, do ponto de vista analítico e numérico, o problema de calor linear e não linear com condições de fronteira de Robin. Salientamos que na literatura são consideradas frequentemente condições de fronteira de Dirichlet e o estudo apresentado para o caso contínuo e discreto é baseado no método de energia. No caso discreto esta análise requer a definição de um quadro funcional adequado.No caso linear provamos a estabilidade do problema continuo e, para o problema semi-discreto e completamente discreto, são estabelecidos resultados de estabilidade e convergência.No caso não linear, para o modelo continuo, a estabilidade é concluída localmente para uma solução suave. No caso semi-discreto, a estabilidade local é estabelecida se a solução verifica uma condição de regularidade que pode ser vista como uma versão discreta da imposta no caso continuo. A validade desta condição é concluída a partir do resultado de convergência. Assim, a estabilidade local é estabelecida para uma aproximação semi-discreta que seja uma aproximação de segunda ordem para a solução contínua. A estabilidade da aproximação completamente discreta definida por um método de Euler implícito-explícito é também estudada. Observamos que tal propriedade é válida localmente para aproximações que verificam uma condição análoga à considerada no caso semi-discreto.O comportamento qualitativo dos sistemas estudados é também incluído neste trabalho. Salientamos que no caso linear é também ilustrado o resultado de convergência.

In this work, we study, from analytical and numerical point of view, a initial boundary value problem for a linear and nonlinear heat equation with Robin boundary conditions. We remark that in the literature are often considered these problems but with Dirichlet boundary conditions and the study presented for the continuous and discrete case is based on the energy method. In the discrete case, the analysis requires the definition of a convenient functional context.In the linear case, for the continuous model, we prove the stability and for the semi-discrete and discrete approximations, we establish stability and convergence results.For the nonlinear problem and for the continuous model, the local stability is established for smooth solutions. For the semi-discrete case, the local stability is proved for solutions satisfying a condition that can be seen as a discrete version of the one assumed for the continuous case. We prove that this condition can the concluded from the convergence analysis. The local stability is established for semi-discrete approximations that are second-order approximations for the continuous solutions.The stability of the discrete approximation defined by an implicit-explicit Euler method is also studied. We point out that this property can be deduced locally for discrete solutions that satisfy a condition analogous to the one considered in the semi-discrete case. The qualitative behaviour of the solutions of the problems studied in this thesis is also included. For the linear case, the convergence result is also illustrated.