Sharp regularity for the inhomogeneous porous medium equation

Abstract

The porous medium equation $$u_{t} - {\rm div} \left( m u^{m-1} \nabla u \right) = f $$ is one of the most relevant parabolic equations of degenerate type. The modulus of ellipticity of its principal part vanishes at points where $u=0$ and the pde looses its uniform parabolic nature. Despite this fact, some of the regularity properties of its solutions survive, like, for example, their Hölder continuity. This is a celebrated result mainly due, in its most general form, to DiBenedetto and Friedman.

On the other hand, the quest for precise, quantitative derivations of the Hölder exponent has hitherto eluded the community, the only exception being the one-dimensional case. This type of quantitative information, apart from its own intrinsic value, plays an important role in the analysis of a number of qualitative issues for parabolic pdes, such as blow-up analysis, Liouville type results, free boundary problems, and so forth.

In this thesis, we first revisit the local Hölder continuity of weak solutions of the porous medium equation using the method of intrinsic scaling. The continuity of a solution at a point follows from measuring its oscillation in a sequence of nested and shrinking cylinders, with vertex at that point, and showing that the oscillation converges to zero as the cylinders shrink to the point. The idea behind the method of intrinsic scaling is to perform this iterative process in cylinders that reflect the structure of the equation. Although the results are well-known, the proofs are scattered in the literature and we provide here a self-contained approach to the issue.

Most importantly, on the second part of the thesis, we show that locally bounded solutions of the inhomogeneous porous medium equation are locally Hölder continuous, with precise exponent $$\gamma =\min \left\{ \frac{\alpha_{0}^-}{m}, \frac{[(2q - n)r -2q]}{q[(mr - (m-1)]} \right\},$$ where $\alpha_{0}$ denotes the optimal Hölder exponent for solutions of the homogeneous case. The proof relies on an approximation lemma and geometric iteration in the appropriate intrinsic scaling.

Although regularity estimates for degenerate evolution equations have been successfully obtained in great generality, explicit expressions for the Hölder exponent of continuity for weak solutions have only been known in the linear setting. For nonlinear equations, the classical tools from harmonic analysis, such as singular integrals, are precluded from being used and an entirely new approach is needed. The estimates we obtain are striking in their simplicity and follow by applying a method based on the notion of geometric tangential equations, which explores the intrinsic scaling of the operator and the integrability of the forcing term.

A equação dos meios porosos $$ u_{t} - {\rm div} \left (m u^{m-1} \nabla u \right) = f $$ é uma das mais importantes equações parabólicas de tipo degenerado. O módulo de elipticidade da sua parte principal anula-se em pontos onde $ u = 0 $ e a equação perde a sua natureza parabólica uniforme. Apesar disso, algumas das propriedades de regularidade das suas soluções sobrevivem como, por exemplo, a continuidade Hölderiana. Este é um resultado célebre devido, na sua forma mais geral, a DiBenedetto e Friedman.

Por outro lado, a procura de uma expressão quantitativa precisa para o expoente de Hölder permaneceu um problema em aberto, sendo a única excepção o caso unidimensional. Este tipo de informação quantitativa, além do seu próprio valor intrínseco, desempenha um papel importante na análise de uma série de questões qualitativas para equações com derivadas parciais parabólicas, como a análise de explosão, resultados do tipo Liouville e problemas com fronteira livre, entre outros.

Nesta tese, revisitamos a continuidade Hölderiana local das soluções fracas da equação dos meios porosos usando o método da mudança intrínseca de escala. A continuidade de uma solução num ponto obtém-se medindo a sua oscilação numa sucessão de cilindros encaixados, com vértice nesse ponto, e mostrando que a oscilação converge para zero à medida que os cilindros colapsam no ponto. A idéia por detrás do método da mudança intrínseca de escala é realizar este processo iterativo em cilindros que refletem a estrutura da equação. Embora os resultados sejam bem conhecidos, as demonstrações estão espalhadas na literatura e fornecemos aqui uma abordagem auto-contida do problema.

Na segunda parte da tese, obtemos o principal resultado, que consiste em mostrar que soluçõrd localmente limitadas da equação não-homogénea dos meios porosos são localmente contínuas à Hölder, com expoente exactamente igual a $$ \gamma = \min \left \{\frac{\alpha_{0}^-}{m}, \frac{[(2q - n) r -2q]}{q [(mr - (m-1 )]} \right\},$$ onde $ \alpha_{0} $ é o expoente de Hölder óptimo para soluções do caso homogéneo. A prova é baseada num lema de aproximação e num processo geométrico iterativo usando a escala intrínseca apropriada.

Embora as estimativas de regularidade para as equações de evolução degeneradas tenham sido obtidas com sucesso em grande generalidade, expressões explícitas para o expoente de continuidade Hölderiana para soluções fracas só eram conhecidas no caso linear. Para equações não-lineares, as ferramentas clássicas da análise harmónica, tais como os integrais singulares, não podem ser utilizadas e é necessária uma abordagem totalmente nova. As estimativas que obtemos são surpreendentes na sua simplicidade e resultam da aplicação de um método baseado na noção geométrica de equação tangencial, que explora a mudança intrínseca de escala para o operador e a integrabilidade do termo fonte.