Regularity properties for the porous medium equation

Abstract

The theory of degenerate/singular nonlinear partial differential equations has gained a great importance over the last decades. In this work, we study a famous equation with these characteristics, the porous medium equation, ut - Δum = 0. m > 1. (PME) We study regularity results for this equation, more especifically we prove the Hölder continuity of nonnegative weak solutions. Our main goal is to describe the method used to achieve this result, the intrinsic scaling method. This method can be used for a great number of degenerate and singular equations, which makes it a strong tool in this area.

A teoria das equações com derivadas parciais degeneradas/singulares ganhou uma grande importância ao longo das últimas décadas. Neste trabalho, estudamos uma famosa equação com estas características, a equação dos meios porosos, ut - Δum = 0. m > 1. (PME) Estudamos resultados de regularidade para esta equação, mais concretamente, provamos a continuidade à Hölder das suas soluções fracas não negativas. O principal objetivo deste trabalho é descrever o método usado para obter este resultado. Este método pode ser usado para tratar um vasto número de equações degeneradas e singulares, o que faz dele uma ferramenta essencial nesta área.