Sistemas lineares discretos e modelos económicos

Abstract

Nesta dissertação considerámos a equação básica de preços do modelo dinâmico de Leontief definida por (I-AT+BT)p(k+1)=[1+r]BTp(k)+p0(k+1)a0, k=0,…,l-1, l Œ Z+ (1), considerando os casos invariante e periódico. Mais concretamente, debruçámo-nos sobre a estrutura das matrizes dos coeficientes técnicos, A, e dos coeficientes de investimento, B, de forma a assegurar a não negatividade da trajectória do modelo económico acima referido. Deste modo, no primeiro capítulo, começámos por enquadrar o estudo desta classe de sistemas, apresentando as principais características do modelo de input/output de Leontief descrito por Bx(k+1) = (I-A+B) x(k) - y(k), k=0,…,l-1, l Œ Z+. Iniciámos o segundo capítulo com uma breve resenha bibliográfica sobre as matrizes-M. Por outro lado, tendo em conta a importância que esta família de matrizes bem como a classe das matrizes não negativas cujas inversas são matizes-M, assumem na obtenção dos nossos resultados, introduzimos algumas propriedades que as caracterizam, destacando os resultados que melhor contribuem para a resolução do problema de existência de soluções não negativas para o sistema (1). No terceiro capítulo, apresentámos condições suficientes para as matrizes A e B de forma que o sistema de Leontief de preços admita soluções com significado económico. Na abordagem que desenvolvemos recorremos a propriedades de algumas matrizes não negativas. Em particular, mostrámos que a equivalência entre [I+(I-AT)-1BT] tem uma submatriz monomial e [I+(I-AT)-1BT] admite uma factorização não negativa de característica máxima, associada à existência de matrizes cujas inversas são matrizes-M, permitem reduzir o sistema de Leontief de preços a um sistema linear invariante discreto na forma de espaço de estados sujeito a uma restrição algébrica e consequentemente obter a sua trajectória. Por fim, no quarto capítulo, analisámos uma generalização do caso invariante, ou seja, caracterizámos as matrizes dos coeficientes técnicos e de investimento, A(k) e B(k) respectivamente, de modo que a trajectória do modelo N-periódico de Leontief definido por [I-AT(k)+BT(k)]p(k+1)=[1+r]BT(k)¥ ¥p(k)+p0(k+1)a0, k=0,…,lN-1, l,N Œ Z+, pertença a . Neste sentido, recorremos à formulação invariante definida em [A. Borges, 1998, 1999] e utilizámos a metodologia proposta no terceiro capítulo.