New Ways of Measuring and Dealing with Risk and Return in Portfolio Optimization

Abstract

Motivated by the limitations of the mean-variance optimization model, in this thesis we propose to approach the portfolio selection problem with different frameworks. Looking differently at how to deal with risk and return in portfolio construction, we try to suggest more realistic frameworks than the classical one.

We begin by proposing a flexible methodology for portfolio choice, using a skewness/semivariance biobjective optimization model. The solutions of this biojective optimization problem allow the investor to analyze the efficient tradeoff between skewness and semivariance. This methodology is used empirically on four datasets, collected from the Fama/French data library. The out-of-sample performance of the skewness/semivariance model was assessed by choosing three portfolios belonging to each in-sample Pareto frontier and measuring their performance in terms of skewness per semivariance ratio, Sharpe ratio and Sortino ratio. Both the in-sample and the out-of-sample performance analyses were conducted using three different target returns for the semivariance computations. The results show that the efficient skewness/semivariance portfolios are consistently competitive when compared with several benchmark portfolios.

Then we extend the study of the cardinality impact on the portfolio performance, from the traditional mean-variance framework to more general frameworks that include higher moments. For each framework, we propose a biobjective model that allows the investor to explicitly analyze the efficient tradeoff between expected utility and cardinality. We applied the proposed methodology to data from the Portuguese Stock Market Index (PSI 20 Index). The empirical results show that, in-sample, the certainty equivalent and the Sharpe ratio increase with the cardinality level in all frameworks. The results also suggest that there are no performance gains, in-sample, in terms of certainty equivalent, when higher moments are considered. Out-of-sample, the turnover increases up to a certain cardinality level, then decreases. For certain cardinality levels, there are gains in terms of out-of-sample certainty equivalent and Sharpe ratio, when skewness and kurtosis are considered. We check the robustness of these results in a large dataset from the Eurozone Stock Market Index (EURO STOXX 50 Index).

Finally, within a CRRA-utility maximization framework, we suggest the construction of two different portfolios: a low and a high frequency portfolio. For ten different risk aversion levels, we compare the performance of both portfolios in terms of several out-of-sample measures. Using data on fourteen stocks of the French Stock Market Index (CAC 40 Index), we conclude that the ``fight'' is always ``won'' by the high frequency portfolio for all the considered performance evaluation measures. Then, we consider a framework where the investor, with CRRA preferences, has two objectives: the maximization of the expected utility and the minimization of the portfolio expected illiquidity. The CRRA-utility is measured using the portfolio realized volatility, realized skewness and realized kurtosis, while the portfolio illiquidity is measured using the well-known Amihud illiquidity ratio. Therefore, the investor is able to make her choices directly in the expected utility/liquidity (EU/L) bidimensional space. We conduct an empirical analysis in the same set of stocks of the CAC 40 Index. The robustness of the proposed model is analyzed taking into account the out-of-sample performance of different EU/L portfolios relative to the minimum variance and equally weighted portfolios. For different risk aversion levels, the EU/L portfolios are quite competitive and in several cases consistently outperform those benchmarks, in terms of utility, liquidity and certainty equivalent.

Motivados pelas limitações do modelo de otimização de média-variância, nesta tese propomos a construção de carteiras de investimento em cenários diferentes. Olhando de modo diferente para como lidar com o risco e o retorno na construção de carteiras de investimento, tentamos sugerir cenários mais realistas do que o cenário clássico. Começamos por propor uma metodologia flexível para a construção de carteiras de investimento, utilizando um modelo de otimização biobjetivo de assimetria/semivariância. As soluções deste problema de otimização biobjetivo permitem ao investidor analisar o compromisso eficiente entre a assimetria e a semivariância. Esta metodologia é utilizada empiricamente em quatro conjuntos de dados, obtidos na coleção de Fama/French. A performance fora-da-amostra do modelo de assimetria/semivariância foi aferida escolhendo três carteiras de investimento pertencentes a cada fronteira de Pareto dentro-da-amostra e medindo a sua performance em termos do rácio de assimetria por semivariância, rácio de Sharpe e rácio de Sortino. Ambas as análises de performance dentro-da-amostra e fora-da-amostra foram realizadas utilizando três retornos alvo diferentes para os cálculos da semivariância. Os resultados mostram que as carteiras de investimento eficientes de assimetria/semivariância são consistentemente competitivas quando comparadas com diferentes carteiras de investimento de referência. Posteriormente, estendemos o estudo do impacto da cardinalidade na performance das carteiras de investimento, do cenário tradicional de média-variância a cenários mais gerais que incluem momentos de ordem superior. Para cada cenário, nós propomos um modelo biobjetivo que permite ao investidor analisar explicitamente o compromisso eficiente entre a utilidade esperada e a cardinalidade. Aplicamos a metodologia proposta a dados relativos a títulos pertencentes ao Índice do Mercado de Ações Português (Índice PSI 20). Os resultados empíricos mostram que, dentro-da-amostra, em todos os cenários o equivalente certo e o rácio de Sharpe aumentam com o nível de cardinalidade. Os resultados também sugerem que não existem ganhos de performance, dentro-da-amostra, em termos de equivalente certo, quando se consideram momentos de ordem superior. Fora-da-amostra, a rotação da carteira de investimento aumenta até um certo nível de cardinalidade, decrescendo posteriormente. Para certos níveis de cardinalidade, existem ganhos em termos de equivalente certo e rácio de Sharpe fora-da-amostra, quando são consideradas a assimetria e a curtose. Confirmamos a robustez destes resultados num conjunto maior de dados relativos a títulos pertencentes ao Índice do Mercado de Ações da Zona Euro (Índice EURO STOXX 50). Finalmente, dentro de um cenário de maximização da utilidade com aversão relativa ao risco constante (CRRA), sugerimos a construção de duas carteiras de investimento diferentes: uma carteira de investimento de baixa frequência e uma carteira de investimento de alta frequência. Para dez níveis de aversão ao risco diferentes, comparamos a performance de ambas a carteiras de investimento em termos de várias medidas fora-da-amostra. Utilizando dados de catorze ações do Índice do Mercado de Ações Francês (Índice CAC 40), concluímos que para todas as medidas de avaliação de performance consideradas o "combate" é sempre "ganho" pela carteira de investimento de alta frequência. Posteriormente, consideramos um cenário onde o investidor, com preferências CRRA, tem dois objetivos: a maximização da utilidade esperada e a minimização da iliquidez esperada da carteira de investimento. A utilidade-CRRA é medida utilizando a volatilidade realizável, a assimetria realizável e a curtose realizável da carteira de investimento, enquanto que a iliquidez da carteira de investimento é medida utilizando o bem conhecido rácio de iliquidez de Amihud. Assim, o investidor é capaz de realizar as suas escolhas diretamente no espaço bidimensional de utilidade esperada/liquidez (EU/L). Conduzimos uma análise empírica no mesmo conjunto de ações do Índice CAC 40. A robustez do modelo proposto é averiguada de acordo com a performance fora-da-amostra de diferentes carteiras de investimento EU/L em relação à carteira de investimento de variância mínima e a carteira de investimento em que todos os títulos têm ponderações idênticas. Para diferentes níveis de aversão ao risco, a carteiras de investimento EU/L são bastante competitivas e em vários casos consistentemente superam aquelas carteiras de referência, em termos de utilidade, liquidez e equivalente certo.